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Aplicaciones de LAPLACE - Coggle Diagram

- - - - Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para S > α de una función cualquiera:
      - Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [0;∞)
      - Ser de orden exponencial α
- - - - Por otro lado aplicando la transformada de Laplace a la representación por variables de estado, se puede encontrar una relación directa entre las dos representaciones. Es decir podremos convertir de variables de estado para función de transferencia.
        Considere la siguiente representación por variables de estado.
      - Considerando que x(s)=L{x(t)} se obtiene que:
      - Cabe resaltar que la mayoría de los sistemas físicos son descritos por sistemas no lineales e variantes en el tiempo.
        En general un sistema no lineal puede ser descrito por la siguiente representación en variables de estado:
      - Sin embargo se puede aproximar un sistema NO lineal a través de un sistema lineal aproximado en torno a un punto de equilibrio.
      - Diagrama de bloques
        
        Como todos los sistemas de control, podemos representar el proceso a través del diagrama de bloques del espacio de estados. En el vídeo de YouTube, se explica en detalle como entender este diagrama de bloques y como es que sale a partir de la ecuación de espacio de estados.
        A partir de las ecuaciones de las variables de estado podremos representar el espacio de estados a diagrama de bloques:
- - - - Obtener la función de transferencia V2(s)/v1(s) correspondiente a los siguientes circuitos eléctricos representados:
      - Resolución circuito 1:
      - Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
      - Resolución circuito 2:
      - Tomando las transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
      - Reorganizando:
      - Sustituyendo:
      - Sustituyendo V2*s( en la ecuación:
- - - - Supongamos tener un circuito serie RLC, con condiciones iniciales nulas, alimentado con una excitación e(t) = Im (Es e^jωt). En esas condiciones, tendremos:
        
        ecuación fasorial:
        
        ecuación transformada:
    - - Impedancia y admitancia
        
        Las variables serán designadas V(s) e I(s). Así, la impedancia y la admitancia en el dominio transformado se definen como:
        
        Y dado que ambas variables son función de s, la impedancia y la admitancia son funciones de la variable s.
        
        Hemos visto que la impedancia de un resistor es R, y su admitancia G = 1 / R; en un inductor Z(s) = sL, Y(s) = 1/sL, y en un capacitor Z(s) = 1/sC, Y(s) = sC. Generalizaremos ahora estos resultados, definiendo la impedancia transformada. Para ello, consideraremos una red de dos terminales que contiene resistencias, inductancias y capacidades conectadas de cualquier manera, pero que no contiene fuentes de ningún tipo, ni sus elementos poseen condiciones iniciales
        
        Conexión serie y paralelo de impedancias.
        
        En la figura 8a vemos dos impedancias Z1 y Z2 conectadas en serie. La corriente que circula por ambas es la misma, por lo que la tensión en bornes de la combinación Z1 Z2 será: V = V1 + V2 = I Z1 + I Z2 = I (Z1 + Z2 ) = I Zeq → Zeq = Z1 + Z2 Es decir, la impedancia equivalente será la suma de las dos impedancias. Así Así, para el caso mostrado en la figura 8b, la impedancia entre 1 y 2 es:
        
        y en la figura 8c, la impedancia equivalente entre 1 y 2 es:
        
        con lo cual entre los bornes (1) y (2) vemos una capacidad equivalente Ceq = C1C2/C1 +C2. Si se conectan en serie n impedancias, la impedancia equivalente será:
        
        Zeq = Z1 + Z2 + ... +Zn
        
        o sea, la suma de las n impedancias individuales. En la figura 9a, Z1 y Z2 están conectadas en paralelo, sometidas ambas a igual d.d.p. La corriente por la combinación Z1Z2 en paralelo es:
        
        Transformación de fuentes.
        
        Sabemos que una fuente de tensión en serie con una impedancia puede convertirse en una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia, y viceversa. Esta equivalencia de dipolos es válida también en el dominio frecuencial tal como veremos a continuación:
        
        Convertir la fuente de tensión de la figura en fuente de corriente:
        
        La corriente de cortocircuito de la fuente mostrada es: por lo que la fuente de corriente equivalente será la de la fig 10 b
        
        Divisor de tensión - Divisor de corriente.
        
        En forma genérica, será:
        • Divisor de tensión: Lo planteamos en la figura 11 a:
        
        Divisor de corriente: lo planteamos en la figura 11 b :
        
        por lo que:
        
        La extensión al dominio transformado de los distintos teoremas conocidos para la resolución de circuitos (superposición, Thévenin, Norton), así como de los distintos métodos de resolución, es puramente formal.
  - - - El circuito RLC de la Figura 2 esta formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectado en serie a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. Determine la carga q(t) en el capacitor y la corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que R=160 ohmios, L=1H, C=10^-4 F y e(t)= 20v
      - Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff tenemos
      - Utilizando:
      - Nos queda:
      - Sustituyendo los valores de R,C,L y e(t)
      - Aplicando la Transformada de Laplace en los dos miembros:
      - Q(s) es la transformada de q(t), estamos suponiendo que q(0) = 0 y dq/dt(0)=0y i(0) = 0 Esto reduce la ecuación a :
      - Despejando
      - Aplicando fracciones simples
      - Ahora le aplicamos la transformada inversa
      - Entonces la corriente resultante en el circuito eléctrico