Aplicaciones de LAPLACE
CARACTERISTICAS GENERALES
DEFINICIÓN
PROPIEDADES:
VARIABLES DE ESTADO
Es una herramienta matemática de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
La transformada de Laplace de una función ƒ(t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Mientras la integral esté definida. Cuando ƒ(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es:
También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
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Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente
Transformadas:
Propiedad de desplazamiento en el tiempo
Propiedad de desplazamiento en frecuencia
Propiedad de cambio de escala
Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
Transformada de Laplace de la derivada primera de una función
Transformada de Laplace de la derivada n−ésima de una función
Transformada de Laplace de la primitiva de una función
Transformada de Laplace de una función periódica
Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio t
Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio t^n
Las variables de estado o espacio de estados son la representación de cualquier sistema o proceso empleados por la teoría del control moderno. Este tipo de representación en variables de estado brinda mucha más información dinámica del sistema, y si estas interesado (a) en conocer más sobre el espacio de estados, tenemos una entrada que explica al detalle las diferencias y el porque usar variables de estado en control.
Como concepto básico, podemos ver que la representación en espacio de estados es representado matricialmente por 4 elementos
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A= Matriz dinámica
B= Matriz de control
C= Matriz de lectura
D= Matriz de paso
Representación
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Por otro lado aplicando la transformada de Laplace a la representación por variables de estado, se puede encontrar una relación directa entre las dos representaciones. Es decir podremos convertir de variables de estado para función de transferencia.
Considere la siguiente representación por variables de estado.
Considerando que x(s)=L{x(t)} se obtiene que:
Cabe resaltar que la mayoría de los sistemas físicos son descritos por sistemas no lineales e variantes en el tiempo.
En general un sistema no lineal puede ser descrito por la siguiente representación en variables de estado:
Sin embargo se puede aproximar un sistema NO lineal a través de un sistema lineal aproximado en torno a un punto de equilibrio.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
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En pocas palabras una función de transferencia es una función matemática lineal que emplea la famosa herramienta matemática de la transformada de Laplace y permite representar el comportamiento dinámico y estacionario de cualquier sistema. Sin embargo vamos a detallar este concepto minuciosamente.
Sabemos que cuando nos encontramos en frente de algún proceso, sea cual sea, este proceso por lo general contará con actuadores y sensores. Los actuadores harán con que mis variables (presión, temperatura, nivel, humedad, velocidad, etc) comiencen a variar con el tiempo, mientras que los sensores se encargan de medir y mostrarme como dichas variables están cambiando con el tiempo.
Obviamente nosotros vamos a querer controlar estas variables del proceso, porque simplemente no vamos a dejar que estas variables evolucionen con el tiempo de la manera que ellas quieran. Por decir algo, si tenemos un horno, donde estamos cocinando galletas. No vamos a dejar que la variable temperatura suba a valores muy elevados, porque el resultado sería tener unas galletas totalmente quemadas. Es por eso que debemos controlar la temperatura para que esta se mantenga sobre una determinada zona y nos permita obtener una galletas perfectas!
Origen
Pero aquí llega el primer inconveniente. Para poder hacer los cálculos matemáticos de nuestros controladores, es de vital importancia, primero y antes que nada, conocer y entender cómo se comporta nuestro proceso. Y tenemos que hallar la forma de representar ese proceso que está en la industria en el Papel. Es decir encontrar alguna ecuación matemática que me permita modelar y simular el comportamiento real de mi proceso.
Ahí es donde tiene origen la función de transferencia. Si observamos los datos que nos entrega algún sensor de nuestro proceso, después de haber aplicado alguna perturbación (es decir después de prender los quemadores, después de abrir una válvula, etc) veremos que la variable comenzará a evolucionar en el tiempo hasta alcanzar otro estado donde se quedara estable, conocido en la literatura como el estado estacionario. Entonces de ese movimiento dinámico podemos clasificar el comportamiento del proceso en el tiempo de dos formas, como lo vemos en la siguiente figura:
En la zona dinámica el sistema va variando con el tiempo, y en la zona estacionaria, el sistema ya no depende más del tiempo, porque sin importar si el tiempo sigue creciendo, la variable se mantiene en el mismo valor.
APLICACIONES:
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Control de Procesos
En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.
En el ámbito doméstico Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios
En transportación Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta
En la industria Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
BIBLIOGRAFIA:
Diagrama de bloques
Como todos los sistemas de control, podemos representar el proceso a través del diagrama de bloques del espacio de estados. En el vídeo de YouTube, se explica en detalle como entender este diagrama de bloques y como es que sale a partir de la ecuación de espacio de estados.
A partir de las ecuaciones de las variables de estado podremos representar el espacio de estados a diagrama de bloques:
Existencia:
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Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para S > α de una función cualquiera:
Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [0;∞)
Ser de orden exponencial α
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[1] F. Rodríguez, «ECURED,» 19 Diciembre 2011. [En línea]. Available: https://www.ecured.cu/Transformada_de_Laplace.
[2] M. Quispe, «PDF,» 9 Febrero 2017. [En línea]. Available: http://caminos.udc.es/info/asignaturas/master_iccp/miccp511/images/Imagenes_complementarios/resumen_laplace.pdf.
[3] S. Castaño, «Control automatico educacion,» 20 Septiembre 2018. [En línea]. Available: https://controlautomaticoeducacion.com/sistemas-dinamicos-lineales/variables-de-estado-espacio-de-estados/.
[4] J. Maldonado, «Monografias,» 17 Julio 2020. [En línea]. Available: https://www.monografias.com/trabajos104/aplicaciones-reales-transformada-laplace/aplicaciones-reales-transformada-laplace.
Transformación de ecuaciones de redes
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Por simplicidad, las condiciones iniciales son nulas, y queremos hallar Vo(s). Aplicaremos el
método de mallas, y escribiendo las ecuaciones por inspección llegamos a:
Para ver cómo se aplica el método a la resolución de circuitos, consideremos la red
Transformando, y recordando que v(0) = 0, iL(0) = 0, será:
donde Vi (s) es la L- transformada de vi(t). Ordenando, será:
las cuales pudieron haber sido escritas directamente por inspección del circuito transformado de
la figura 5b. El determinante es:
Vemos que todos los términos son positivos, el cual es siempre el caso en que las fuentes son
todas independientes.
Para hallar Vo (s) debemos hallar primero I2(s). Como Vo (s) = I2 (s) R tenemos:
Comentario:
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Supongamos tener un circuito serie RLC, con condiciones iniciales nulas, alimentado con una excitación e(t) = Im (Es e^jωt). En esas condiciones, tendremos:
ecuación fasorial:
ecuación transformada:
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Impedancia y admitancia
Las variables serán designadas V(s) e I(s). Así, la impedancia y la admitancia en el dominio transformado se definen como:
Y dado que ambas variables son función de s, la impedancia y la admitancia son funciones de la variable s.
Hemos visto que la impedancia de un resistor es R, y su admitancia G = 1 / R; en un inductor Z(s) = sL, Y(s) = 1/sL, y en un capacitor Z(s) = 1/sC, Y(s) = sC. Generalizaremos ahora estos resultados, definiendo la impedancia transformada. Para ello, consideraremos una red de dos terminales que contiene resistencias, inductancias y capacidades conectadas de cualquier manera, pero que no contiene fuentes de ningún tipo, ni sus elementos poseen condiciones iniciales
Conexión serie y paralelo de impedancias.
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En la figura 8a vemos dos impedancias Z1 y Z2 conectadas en serie. La corriente que circula por ambas es la misma, por lo que la tensión en bornes de la combinación Z1 Z2 será: V = V1 + V2 = I Z1 + I Z2 = I (Z1 + Z2 ) = I Zeq → Zeq = Z1 + Z2 Es decir, la impedancia equivalente será la suma de las dos impedancias. Así Así, para el caso mostrado en la figura 8b, la impedancia entre 1 y 2 es:
y en la figura 8c, la impedancia equivalente entre 1 y 2 es:
con lo cual entre los bornes (1) y (2) vemos una capacidad equivalente Ceq = C1C2/C1 +C2. Si se conectan en serie n impedancias, la impedancia equivalente será:
Zeq = Z1 + Z2 + ... +Zn
o sea, la suma de las n impedancias individuales. En la figura 9a, Z1 y Z2 están conectadas en paralelo, sometidas ambas a igual d.d.p. La corriente por la combinación Z1Z2 en paralelo es:
Transformación de fuentes.
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Sabemos que una fuente de tensión en serie con una impedancia puede convertirse en una fuente de corriente en paralelo con la misma impedancia, y viceversa. Esta equivalencia de dipolos es válida también en el dominio frecuencial tal como veremos a continuación:
Convertir la fuente de tensión de la figura en fuente de corriente:
La corriente de cortocircuito de la fuente mostrada es: por lo que la fuente de corriente equivalente será la de la fig 10 b
Divisor de tensión - Divisor de corriente.
En forma genérica, será:
• Divisor de tensión: Lo planteamos en la figura 11 a:
Divisor de corriente: lo planteamos en la figura 11 b :
por lo que:
La extensión al dominio transformado de los distintos teoremas conocidos para la resolución de circuitos (superposición, Thévenin, Norton), así como de los distintos métodos de resolución, es puramente formal.
EJEMPLO:
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El circuito RLC de la Figura 2 esta formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectado en serie a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. Determine la carga q(t) en el capacitor y la corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que R=160 ohmios, L=1H, C=10^-4 F y e(t)= 20v
Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff tenemos
Utilizando:
Nos queda:
Sustituyendo los valores de R,C,L y e(t)
Aplicando la Transformada de Laplace en los dos miembros:
Q(s) es la transformada de q(t), estamos suponiendo que q(0) = 0 y dq/dt(0)=0y i(0) = 0 Esto reduce la ecuación a :
Despejando
Aplicando fracciones simples
Ahora le aplicamos la transformada inversa
Entonces la corriente resultante en el circuito eléctrico
EJEMPLO:
Obtener la representación en espacio de estados de y(t) a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s):
Halla Para obtener la representación en espacios de estados del sistema utilizamos la expresión para Y(s)/U(s) de la siguiente manera:
Representamos este sistema mediante el siguiente diagrama de bloques:
Donde:
Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos:
Asignamos las siguientes variables de estado:
Sustituimos:
Además vemos que:
De esta manera, la primera parte de la representación en espacios de estados del sistema es:
Para determinar el resto de la representación tomamos en cuenta que:
Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos que:
Al sustituir las variables de estado ya definidas obtenemos que:
Por lo tanto, la salida y(t) a partir del espacio de estados es:
EJEMPLO:
Modelar y calcular las funciones de transferencia del siguiente sistema, donde la entrada es el desplazamiento y(t) y la salida es el desplazamiento x(t)
Tomando transformadas:
EJEMPLO 2:
Obtener la función de transferencia V2(s)/v1(s) correspondiente a los siguientes circuitos eléctricos representados:
Resolución circuito 1:
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
Resolución circuito 2:
Tomando las transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
Reorganizando:
Sustituyendo:
Sustituyendo V2*s( en la ecuación:
[5] J. Llata, «Modelado de Sistemas de Control,» de Automática, 1, 2012, p. 49.