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Aplicaciones de LAPLACE - Coggle Diagram

- - - - Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
      - Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
      - Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
      - Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente
- - - - 1.- Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
      - La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones f, g ∈ E se verifica
      - 2.- Propiedad de cambio de escala
        
        Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = f(αt) también pertenece a E y se verifica
        
        3.- Propiedad de desplazamiento en frecuencia
        
        Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = e^ωt f(t) también pertenece a E y se verifica
      - 4.- Propiedad de desplazamiento en el tiempo
        
        Sea f(t) ∈ E. La función g(t) = f(t − T) u (t − T) también pertenece a E y se verifica
        
        5.- Transformada de Laplace de la derivada primera de una función
        
        Sea f(t) una función continua y de orden exponencial, cuya derivada primera f '(t) sea continua a trozos y de orden exponencial f '(t) ∈ E. La transformada de Laplace de la primera derivada de f verifica
        
        siendo F(s) = L[f(t)] y f(0) el valor de la función en el origen.
- - - - Es una herramienta matemática de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
      - La transformada de Laplace de una función ƒ(t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
      - F(s)= L{ƒ(t)}=∫0∞ e-st ƒ(t)dt
      - Mientras la integral esté definida. Cuando ƒ(t) es una distribución con una singularidad en 0, la definición es
      - F(s)= L{ƒ(t)}= limɛ→0∫-ɛ∞ e-st ƒ(t)dt
      - También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
      - FB(s)= L{ƒ(t)}=∫-∞∞ e-st ƒ(t)dt