APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE
La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple[1].
Aplicación de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos
eléctricos
DEFINICIÓN:
Los circuitos eléctricos son estructuras eléctricas formadas por diversas conexiones entre objetos que tienen características definidas de funcionamiento cuando reciben estímulos de naturaleza electromagnética. Los parámetros característicos de estos objetos son la resistencia(R), la capacitancia(C) y la inductancia(L)[1].
CARACTERISTICAS:
- Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa.
- Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales)[1].
ECUACIONES MATEMATICAS:
Para una resistencia, la relación tensión-corriente en el dominio temporal es:
Calculando la transformada de Laplace, se obtiene
Para un inductor:
Calculando la transformada de Laplace en ambos lados da:
Para un capacitor:
transforma en el dominio de s como:
RESUMEN DE LAS FORMULAS:
La impedancia en el dominio de s se define como el cociente de la transformada de la tensión a la transformada de la corriente, en las condiciones iniciales nulas;
Por lo tanto, las impedancias de los tres elementos del circuito son:
EJEMPLO: Encuentre vo(t) en el circuito , suponiendo las condiciones iniciales nulas
Primero se transforma el circuito del dominio temporal al dominio de s.
El circuito en el dominio s resultante. Se aplica
ahora el análisis de mallas.
Para la malla 1:
Para la malla 2:
o sea:
Sustituyendo esto en la ecuación:
Multiplicando por 3s se tiene:
El cálculo de la transformada inversa da:
Aplicación de la Transformada de Laplace en Función de Transferencia
DEFINICIÓN: La función de transferencia se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida Y(s) y la transformada de Laplace de la señal de entrada U(s), suponiendo todas las condiciones iniciales nulas[3].
CARACTERISTICAS:
- Es una representación compacta de un sistema lineal como
cociente de polinomios en s. - Permite predecir la forma de las señales sin necesidad de resolver la ecuación diferencial [3].
ECUACIONES
La función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la tensión en cualquier lugar del circuito, hay cuatro posibles funciones de transferencia
EJEMPLO:
La salida de un sistema lineal es y(t)=10(e^-t)cos 4t u(t), cuando la entrada es x(t)=(e^-t) u(t). Determine la función de transferencia del sistema y su respuesta al impulso.
Si x(t)=(e^-t) u(t) y y(t)=10(e^-t)cos4t u(t), entonces,
X(s)=1/(s+1) y Y(s)=[10(s+1)]/(s+1)^2 +4^2
De aqui que:
H(s)=Y(s) / X(s)
H(s)= [10(s+1)^2] / (s+1)^2 + 16
H(s)=10-40 x 4/(s+1)^2 + 4^2
Se obtiene
h(t)= 10d(t) - 40e^-t sen4t u(t)
Aplicación de la Transformada de Laplace en variables de estado
DEFINICIÓN
El modelo de variables de estado es más general que el modelo de una sola entrada y una sola salida, como lo es la función de transferencia. Una variable de estado es una propiedad física que caracteriza el estado de
un sistema, sin considerar cómo alcanzó dicho estado el sistema[2].
CARACTERISTICAS
- variables de estado son la presión, el volumen y la
temperatura. - En un circuito eléctrico, las variables de estado son la corriente de un inductor y la tensión de un capacitor, puesto que éstos describen de manera conjunta el estado de la energía en el sistema.
ECUACIONES
x=Ax+Bz
=vector de estado que representa vectores de estado n
=vector de estado que representa entradas m
A y B son matrices de n x n y n x m respectivamente. Además de la ecuación, se necesita la ecuación de salida. El
modelo de estados o espacio de estados completo es
x=Ax+Bz
y= Cx+Dz
El vector de salida que representa salidas p
EJEMPLO
Encuentre la representación estado-espacio del circuito Determine la función de transferencia del circuito cuando vs es la entrada e ix es la salida. Considere R= 1 ohm, C=0.25F y L=0.5H
Solución
Se selecciona la corriente i que pasa por el inductor y la tensión v a través
del capacitor, como las variables de estado.
Si se aplica la LCK en el nodo 1 da
puesto que la misma tensión v se encuentra en R y en C. Si se aplica la LTK
en el circuito exterior se obtiene,
Si se considera ix como la salida,
Expresando las ecuaciones en la forma estándar, se obtiene
Si R=1 C=1/4 y L=1/2 se obtiene, a partir de la ecuación las matrices
Calculando la inversa de ésta, se obtiene
Por lo tanto, la función de transferencia está dada por
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI
Nombre: Christian Alexander Tibán Caisaguano
Asignatura: Matemáticas Aplicada a los Sistemas de Ingeniería
Docente: Ing. Diego Jimenez
Curso: 3ro
Paralelo: "B"
Tema:Aplicaciones de la transformada de Laplace
BIBLIOGRAFIA:
[1] D. Dorantes et al. , “APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A UN CIRCUITO RLC CON FUENTE DE MEDIA ONDA”, Edu.mx . [En línea]. Disponible en: http://www.ittehuacan.edu.mx/revista/vol001-2011/transformadadelaplaceencircuitorlcfuentemediaonda2011b.pdf. [Consultado: 08-dic-2022].
[2] Wordpress.com . [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf. [Consultado: 08-dic-2022].
[3] Uva.es. _ [En línea]. Disponible en: https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/463/45227/1/Documento9#:~:text=Para%20un%20sistema%20lineal%20de,todas%20las%20condiciones%20iniciales% 20nulas.&text=en%20donde%20u(t)%20es,(t)%20es%20la%20salida. [Consultado: 08-dic-2022].