APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE

La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple[1].

Aplicación de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos
eléctricos

DEFINICIÓN:
Los circuitos eléctricos son estructuras eléctricas formadas por diversas conexiones entre objetos que tienen características definidas de funcionamiento cuando reciben estímulos de naturaleza electromagnética. Los parámetros característicos de estos objetos son la resistencia(R), la capacitancia(C) y la inductancia(L)[1].

CARACTERISTICAS:

  1. Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa.
  2. Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales)[1].

ECUACIONES MATEMATICAS:
Para una resistencia, la relación tensión-corriente en el dominio temporal es:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.27.35
Calculando la transformada de Laplace, se obtiene
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.28.47
Para un inductor:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.30.01
Calculando la transformada de Laplace en ambos lados da:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.30.57
Para un capacitor:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.32.31
transforma en el dominio de s como:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.34.32
RESUMEN DE LAS FORMULAS:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.36.45
La impedancia en el dominio de s se define como el cociente de la transformada de la tensión a la transformada de la corriente, en las condiciones iniciales nulas;
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.42.13
Por lo tanto, las impedancias de los tres elementos del circuito son:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.43.18

EJEMPLO: Encuentre vo(t) en el circuito , suponiendo las condiciones iniciales nulas
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.49.30



Primero se transforma el circuito del dominio temporal al dominio de s.
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.55.10


El circuito en el dominio s resultante. Se aplica
ahora el análisis de mallas.
Para la malla 1:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.57.58


Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 20.59.06


Para la malla 2:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.01.25


o sea:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.02.58


Sustituyendo esto en la ecuación:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.04.17


Multiplicando por 3s se tiene:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.07.29


El cálculo de la transformada inversa da:
Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.13.07

Aplicación de la Transformada de Laplace en Función de Transferencia

DEFINICIÓN: La función de transferencia se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida Y(s) y la transformada de Laplace de la señal de entrada U(s), suponiendo todas las condiciones iniciales nulas[3].


CARACTERISTICAS:

  1. Es una representación compacta de un sistema lineal como
    cociente de polinomios en s.
  2. Permite predecir la forma de las señales sin necesidad de resolver la ecuación diferencial [3].

ECUACIONES

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.38.08

La función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la tensión en cualquier lugar del circuito, hay cuatro posibles funciones de transferencia

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 21.45.00

EJEMPLO:

La salida de un sistema lineal es y(t)=10(e^-t)cos 4t u(t), cuando la entrada es x(t)=(e^-t) u(t). Determine la función de transferencia del sistema y su respuesta al impulso.

Si x(t)=(e^-t) u(t) y y(t)=10(e^-t)cos4t u(t), entonces,

X(s)=1/(s+1) y Y(s)=[10(s+1)]/(s+1)^2 +4^2

De aqui que:

H(s)=Y(s) / X(s)

H(s)= [10(s+1)^2] / (s+1)^2 + 16

H(s)=10-40 x 4/(s+1)^2 + 4^2

Se obtiene

h(t)= 10d(t) - 40e^-t sen4t u(t)

Aplicación de la Transformada de Laplace en variables de estado

DEFINICIÓN

El modelo de variables de estado es más general que el modelo de una sola entrada y una sola salida, como lo es la función de transferencia. Una variable de estado es una propiedad física que caracteriza el estado de
un sistema, sin considerar cómo alcanzó dicho estado el sistema[2].

CARACTERISTICAS

  1. variables de estado son la presión, el volumen y la
    temperatura.
  2. En un circuito eléctrico, las variables de estado son la corriente de un inductor y la tensión de un capacitor, puesto que éstos describen de manera conjunta el estado de la energía en el sistema.

ECUACIONES

x=Ax+Bz

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.24.50

=vector de estado que representa vectores de estado n

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.31.54

=vector de estado que representa entradas m

A y B son matrices de n x n y n x m respectivamente. Además de la ecuación, se necesita la ecuación de salida. El
modelo de estados o espacio de estados completo es

x=Ax+Bz
y= Cx+Dz

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.44.31

El vector de salida que representa salidas p

EJEMPLO

Encuentre la representación estado-espacio del circuito Determine la función de transferencia del circuito cuando vs es la entrada e ix es la salida. Considere R= 1 ohm, C=0.25F y L=0.5H

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.51.34

Solución
Se selecciona la corriente i que pasa por el inductor y la tensión v a través
del capacitor, como las variables de estado.

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.53.46

Si se aplica la LCK en el nodo 1 da

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.55.09

puesto que la misma tensión v se encuentra en R y en C. Si se aplica la LTK
en el circuito exterior se obtiene,

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.56.55

Si se considera ix como la salida,

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.58.22

Expresando las ecuaciones en la forma estándar, se obtiene

Captura de pantalla 2022-12-07 a la(s) 23.59.35

Si R=1 C=1/4 y L=1/2 se obtiene, a partir de la ecuación las matrices

Captura de pantalla 2022-12-08 a la(s) 00.01.59

Calculando la inversa de ésta, se obtiene

Captura de pantalla 2022-12-08 a la(s) 00.03.57

Por lo tanto, la función de transferencia está dada por

Captura de pantalla 2022-12-08 a la(s) 00.26.31

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI

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Nombre: Christian Alexander Tibán Caisaguano

Asignatura: Matemáticas Aplicada a los Sistemas de Ingeniería

Docente: Ing. Diego Jimenez

Curso: 3ro

Paralelo: "B"

Tema:Aplicaciones de la transformada de Laplace

BIBLIOGRAFIA:
[1] D. Dorantes et al. , “APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A UN CIRCUITO RLC CON FUENTE DE MEDIA ONDA”, Edu.mx . [En línea]. Disponible en: http://www.ittehuacan.edu.mx/revista/vol001-2011/transformadadelaplaceencircuitorlcfuentemediaonda2011b.pdf. [Consultado: 08-dic-2022].


[2] Wordpress.com . [En línea]. Disponible en: https://steltda.files.wordpress.com/2014/03/fundamentos-de-circuitos-elc3a9ctricos-3edi-sadiku.pdf. [Consultado: 08-dic-2022].


[3] Uva.es. _ [En línea]. Disponible en: https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/463/45227/1/Documento9#:~:text=Para%20un%20sistema%20lineal%20de,todas%20las%20condiciones%20iniciales% 20nulas.&text=en%20donde%20u(t)%20es,(t)%20es%20la%20salida. [Consultado: 08-dic-2022].