Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
dy/dt - a.y = A.exp[j.w.t] - Coggle Diagram
dy/dt - a.y = A.exp[j.w.t]
Presente, por exemplo, em
Circuitos elétricos
Em um circuito de Voltagem Senoidal com corrente alternada
i(t) = I.exp[j.w.t]
Circuito RL (resistor-indutor)
Circuito RLC (resistor-indutor-capacitor)
L.di/dt + R.i + q/C = V.exp[j.w.t]
...
V/I = R + j.(w.L - 1/(w.C))
V/I = Z é Impedância Complexa
Exprime uma "resistência" com magnitude e fase.
Ex.: Circuito RL
V = Z.I = j.w.L.I + R.I
Lei de Ohm é caso particular de corrente contínua em que não há frequência angular num "circuito RL", levando a uma resistência com apenas magnitude:
V = j.0.L.I + R.I = R.I
Possibilita analisar voltagens e correntes senoidais por meio de uma lei linear
Como no circuito RLC
|I| = |V|/|Z| = |V| / √( R² + ( w.L - 1/(w.C) )² )
Se há aumento da indutância ou da resistência, possivelmente gera-se uma queda de corrente
Razão entre voltagem e corrente complexa
L.di/dt + R.i = V.exp[j.w.t]
=> di/dt - (-R/L).i = (V/L).exp[j.w.t]
...
=> V/I = R + j.w.L
Circuito RC (resistor-capacitor)
R.dq/dt + q/C = V.exp[j.w.t]
=> dq/dt - (-1/(R.C)).q = (V/R).exp[j.w.t]
...
=> V/I = R - j/(w.C)
Movimento de pistões
Reações químicas
A constante "a" por vezes exprime a velocidade da reação
Solução particular:
yp(t) = Y.exp[j.w.t]
=> Y.i.w.exp[j.w.t] - a.Y.exp[j.w.t] = A.exp[j.w.t]
=> Y = A/(j.w - a)
Solução similar ao caso
dy/dt - ay = exp[ct]
substituindo-se "c" por "j.w"
Para finalizar a resolução separando a parte real da complexa, cria-se a variável de
"ganho G"
e o
"atraso de fase α"
São definidos de forma que:
1/(j.w - a) = G.exp[ - j.α]
G é o inverso do módulo de
j.w - a, ou seja
G = 1 / √(w² + a²)
α é o ângulo de fase de
j.w - a, ou seja
α = arctan(-w/a)
A solução final então pode ser representada da forma:
yp(t) = A.G.exp[ j.(w.t - α) ]
A parte real dessa solução é justamente a solução de uma equação do tipo
dy/dt - ay = A.cos(wt) + B.sin(wt)
Portanto, a solução do senoide complexo pode ser usada para encontrar a solução de um senoide real, o que pode ser vantajoso ao fornecer mais informações
Entrada e Saída oscilam com a mesma frequência w
Exprime um
senoide complexo
(diferentemente da equação do tipo
dy/dt - ay = A.cos(wt) + B.sin(wt)
que exprime um
senoide real
)
