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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Coggle Diagram

- - - - Quando não explicitarmos o intervalo e nos referirmos a duas
        primitivas da mesma função f
        
        Então as funções são primitivas
        de f no mesmo intervalo I.
        
        ex: f(x)=x3
  - - - (F(x)+C)’ = F’ (x)+(C)’= f(x) + 0 = f(x)
- - - - u = g(x), du = g ’(x) dx e substituindo em (1)
      - f(g(x)).g’ (x) dx =∫ f(u) du = F(u)+C
- - - - Para resolver este problema que envole um contorno curvilíneo, podemos aproximar a área desejada por retângulos, cujas áreas são calculadas pelos métodos da geometria elementar.
        
        Inicialmente, vamos dividir o intervalo [0,1] em quatro subintervalos iguais
        
        [0,1/4], [1/4,1/2], [1/2,3/4], [3/4,1]
        
        Na sequência, vamos construir quatro retângulos com esses subintervalos como base e com alturas dadas pelos valores da função nas extremidades dos subintervalos
        
        depois soma as áreas do retangulos
        
        Isto significa que, aproximadamente, é a área da função f(x)=x2, , no intervalo [0,1] que estamos procurando.
        
        Caso nós aumentássemos o número de retângulos, então seríamos capazes de obter uma melhor estimativa
        
        à medida que n foi crescendo, a soma das áreas retangulares foram cada vez mais se aproximando do que intuitivamente entendemos como a área que estávamos procurando
        
        Outra forma de calcular é soma de Riemann da função f(x), em homenagem a Georg Friedricha e Bernhard Riemann.
        
        Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a,b]. A área sob a curva = f(x), de a até b, é definida por:
- - - - Considerando f uma função definida no intervalo [a,b], e P uma partição qualquer
        de [a,b], então a integral definida de f de a até b, denotada por
      - satisfazem as seguintes propriedades:
  - - - Teorema do valor médio. Se f é uma função contínua em [a,b], então existe um ponto c entre a e b tal que ∫a b f(x) dx = (b-a).f(c).
      - O teorema nos diz que se f(x) ≥ 0,⊃ x ∈ [a,b], então a área abaixo da curva y = f(x), entre a e b, é igual a área de um retângulo de base b-a e altura f(c)
- - - - Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das
        primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo
      - O outro método de substituição que veremos nesta aula é a alteração dos limites de
        integração ao mudar a variável,
    - - A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo
        de integrais de funções simétricas
- - - - A substituição trigonométrica é empregada em integrais que contêm expressões da forma √a2 + x2, , √a2 - x2, , √x2 - a2 no integrando, nos permitindo substituir os binômios pelo quadrado de um único termo, transformando “várias integrais que contêm raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente” (THOMAS, 2012, p. 542).
  - - - é possível expressar uma integral de uma função racional como uma
        soma de frações mais simples de serem integradas, as chamadas frações parciais.
      - Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como
        um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
      - Segundo Flemming e Gonçalves (2006), para desenvolvimento do método, precisamos considerar que o coeficiente de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1
        
        Caso isto não ocorra, então precisamos dividir o numerador e o denominador da função racional f(x) por esse coeficiente.
        
        Também precisamos supor que p(x) é menor que o grau de q(x); e caso isto não ocorra, então devemos primeiramente efetuar a divisão de p(x) por q(x).
- - - - é possível utilizar uma integral para calcular o comprimento de uma curva no plano e o trabalho exercido por uma força atuando sobre um corpo.
        
        Comprimento de uma curva plana y=f(x)
        
        trabalho