Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

вектор ~ движение - Coggle Diagram

- - - - \(A*\vec{v}\) ~ \(\vec{v}\) - lin. comb. of bases
      - composition=M2*M1 #
        M2 <- M1: Mv, f(g(x))
  - - - if det(A) != 0: \( x=A^{-1}b \)
        
        ~проиграть обратную трансформацию
        
        1 решение
      - if det(A) == 0: обратной матрицы нет
        
        сплющ-ое пространство расплющить нельзя
        
        реш. можно найти if оно лежит на сплющ-ом пространстве
  - - - поиск айгенвекторов/значений
        
        \( det(A - \lambda I)=0 => \lambda \)
        
        \( T = A - \lambda I, T\vec{x}=\vec{0} => \vec{x} \)
    - - matrix transformation ->> eigenbasis
        
        find eigenvectors for transformation
        
        form new basis with them if there are eigenvectors that spans whole space
        
        find basis changing matrix transf. A: eigenbasis -> our basis
        
        \( T=A^{-1}MA \), to apply to \(\vec{v}\) ->> our basis
        
        \(\vec{v_2} = A^{-1}*\vec{v}\)
        
        \(\vec{v_3} = T*\vec{v_2}\)
        
        \(A*\vec{v_3}\)
- - - - обратная матрица изменения базиса
        переводит в-р из нашей коорд.сист в другую
    - - трансформация описана относительно коорд.сист X
        
        мы не можем переводить столбцы этой матрицы относительно базиса коорд. сист Y для получения матрицы трансформации для коорд.сист Y
        
        трансформации описываются относит. конкретного базиса: куда перенести базисы, чтоб получить желаемую трансфмц
        
        исходное положение др. базиса иное => необходимо др. описание перемещения для описания такой же трансфмц
      - \( A^{-1}MA \)
        
        М - matrix transf. в нашей коорд.сист
        
        A - матрица изм. базиса
        
        переводим в-р в нашу коорд.сис -> apply transf. -> возвращаем назад
        
        \( A^{-1}, A \) - математич. эмпатия, сдвиг в перспективе
        
        полное матричное произведение ~ М на др. языке
- - - - линейность для трансформации ф-ии
        
        \( f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \)
        
        \( f(c\vec{x}) = cf(\vec{x}) \)
        
        ключевое следствие
        лин. трансформц полностью описывается тем, куда она перемещает базисные вектора
        
        делает возможным матрица × вектор
        
        вектор = сумма отмасштабированных базисных векторов => трансформированный вектор = сумма отмасштабированных трансформированных базисных векторов
    - - рассмотрим пространство полиномов
        
        зададим коорд.сист
        
        полиномы уже представлены в виде суммы отмасштабированных степеней x
        
        в кач. базисных ф-ций выберем степени x
        
        \( b_0(x)=x^0, b_1(x)=x^1, b_2(x)=x^2\), ...
        
        их будет \( \infty \) кол-во т.к. пространство произвольное
        
        теперь полиномы можно представить в виде вектора координат, выписав в соответствующие позиции коэф. масштабирования базисных ф-ий
        
        матрица трансформации
        
        будет \( \infty-\)ой, т.к. пространство \( \infty-\)мерное
        
        будет состоять из нулей, кроме смещенной диагонали с положит. цел. числами увеличивающимися на 1 начиная с 1
        
        каждый столбец - это в-р координат производной соответствующей базисной ф-ии
        
        умножим матрицу на в-р координат полинома мы получим вектор координат производной полинома #
- - - - если экстраполировать знания о 2d в-ном произведении на 3d: есть три 3d в-ра -> находим det([x, v, w]) => объем параллелепипеда со знаком в зависимости от ориентации
        
        пусть первый столбец переменный => получаем ф-ию, которая отображает вектор в число ~ площадь параллелепипеда со знаком
        
        эта трансформация линейна => можно описать матрицей 1х3
        
        матрица отображает из многомерного пространства в 1d => можно вводить понятие дуальности: т.е. есть вектор, такой что применить эту трансформацию то же самое, что найти скалярное произведение с этим вектором
        
        численный подход
        
        если расписать вычисления, то мы убедимся, что нахождение констант, на к-ые домножаются x, y, z слева это то же самое, что найти коэф. на которые домножаются x, y, z справа
        \( \vec{p} . \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = det( \begin{bmatrix} x \\ y & \vec{v} & \vec{w}\\ z \end{bmatrix}) \)
        \( p_1x + p_2y + p_3z=(v_2w_3 - v_3w_2)x + (v_3w_1-v_1w_3)y + (v_1w_2 - v_2w_1)z \)
        
        т.е. мы нашли вектор, такой что применить трансформацию - это то же самое, что найти скалярное произведение с этим вектором
        
        p.s. мы нашли для трансформации справа эквивалентную операцию, к-ая позволяет добраться до свойств этого 3го в-ра \( \vec{p} \)
        
        геометрический подход
        
        скалярное произведение \( \vec{p} \) и [x, y, z] ~ спроецировать [x, y, z] на \( \vec{p} \) и умножить длину этой проекции на длину \( \vec{p} \)
        
        \( det( \begin{bmatrix} x \\ y & \vec{v} & \vec{w}\\ z \end{bmatrix}) \)
        ~ найти S параллелепипеда, построенного на в-рах в столбцах:
        
        (S основания) x (высота параллелепипеда)
        
        основание - параллелограмм, построенный на \( \vec{v},\vec{w} \)
        
        высота - компонента [x, y, z], перпендикулярная к \( \vec{v},\vec{w} \)
        
        Но это то же самое, что найти скаляр. произвед. [x, y, z] и \( \vec{p} \), к-ый
        
        перпендикулярен к \( \vec{v},\vec{w} \)
        
        c длиной равной S основания параллелепипеда
        
        а если еще соответствующим образом подобрать направление \( \vec{p} \), то отриц. результат скалярного произведения совпадет со случаем, когда правило правой руки дает отрицательный результат для [x, y, z], \( \vec{v},\vec{w} \)
        
        вывод
        
        мы рассмотрели проекцию из 3D->1D
        
        нашли для этой трансформации дуальный в-р
        
        вычислительно мы пришли к подстановке i, j, k в 1ую колонку матрицы и расчету детерминанта
        
        геометрически мы выяснили, что этот в-р должен быть перпендикулярен к v, w и его длина должна быть ровна S параллелограмма построенного на v, w
        
        т.к. оба подхода дают нам дуальный в-р к одной и той же трансформации=>это должен быть один и тот же в-р