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Aplicaciones de la Transformada de Laplace - Coggle Diagram
Aplicaciones de la Transformada de Laplace
Análisis de circuitos eléctricos
Definición
La Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución de Circuito RLC. La ecuación diferencial que está en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio en campo s, dominio de Laplace. Una vez resuelto, efectuando las respectivas operaciones algebraicas, se aplica la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en el dominio del tiempo. Para un t ≥ 0 la Transformada de Laplace se define como:
Caracteristicas
Para analizar un circuito RLC usando la transformada de Laplace hay dos métodos:
Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa.
Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales).
Si el objetivo es conocer la respuesta en frecuencia no es necesario volver al dominio temporal.
Ecuaciones matemáticas
Bobina
i(0) es la corriente de la bobina en el instante t=0
Condensador
v(0) es el voltaje en el condensador en el instante t=0
Resistencia
Ejemplos:
EJEMPLO #1
Hallar i ( t ) para t ≥ 0, siendo v ( t ) = 2 e − 3 t , R = 3 , L = 1 , C = 0.5 cuyas condiciones iniciales son i ( 0 ) = 4 A y V ( 0 ) = 8 V
Solución:
Mediante fracciones parciales se tiene:
Desarrollo:
Entonces
Aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la solución del problema en el dominio del tiempo
EJEMPLO #2
Encuentre V(t) con TdL en el circuito de la siguiente figura.
Solución:
Elementos transformados al dominio S
Antes - Despues
Aplicamos el método de mallas:
Malla 1
Malla 2
Desarrollo:
Sustituyendo ecuación 2 en 1
Multiplicando por 3s, se tiene:
Obteniendo resultado I2
El cálculo de la transformada de laplace da
Funciones de transferencia
Definición
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso es decir, cuando la entrada es una Dirac delta en tiempo o, equivalentemente, como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.
Caracteristicas
La función de transferencia es una propiedad del sistema y depende de las propiedades físicas de los componentes del sistema, es por tanto independiente de las entradas aplicadas:
El polinomio del denominador de la función de transferencia, D(s), se llama función característica, ya que determina, por medio de los valores de sus coeficientes, las características físicas de los elementos que componen el sistema.
Conocida la función de transferencia de un sistema se puede estudiar la salida del mismo para distintos tipos de entradas. La función de transferencia es muy útil para, una vez calculada la transformada de Laplace de la entrada, conocer de forma inmediata la transformada de Laplace de la salida. Calculando la trasformada inversa se obtiene la respuesta en el tiempo del sistema ante esa entrada determinada.
Distintos sistemas pueden compartir la misma función de transferencia, por lo que ésta no proporciona información a cerca de la estructura interna del mismo.
El polinomio del denominador, D(s), se llama ecuación característica del sistema.
El grado del denominador de la función de transferencia es el orden del sistema.
La función de transferencia viene dada como el cociente de dos polinomios en la variable compleja s de Laplace, uno, N(s) (numerador) y otro D(s) (denominador).
Ecuaciones matemáticas
Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.
Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:
donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de:
y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):
La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:
Ejemplos:
EJEMPLO #1
Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:
Solución:
Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:
Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:
Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:
Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:
que podemos expresar como:
con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:
EJEMPLO #2
Modelar y calcular la función de tranferencia I(s)/ V(s) del siguiente sistema:
Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas:
En forma matricial:
Resolviendo por Cramer:
Variables de estado
Definición:
Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante. Las variables de estado deben ser independientes entre sí. En el caso de la representación lineal de un sistema, las variables de estado deben ser linealmente independientes entre síː una variable de estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado es usualmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema.En circuitos eléctricos, el número de variables de estado es a menudo, pero no siempre, igual al número de elementos almacenadores de energía, como bobinas y condensadores.
Caracteristicas
Pueden tener o no sentido fisico
Pueden o no ser medibles
Para un sistema dinámico las variables de esato no son únicas, se pueden definir infinitos conjuntos de variabñes que funjancomo variables de estado.
Ecuaciones matemáticas
Controlabilidad
Observabilidad
Sistemas Lineales
Forma cánonica
Realimentación
Ejemplos:
EJEMPLO #1
Obtener la representación en espacio de estados de y(t) a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s):
SOLUCIÓN
Representamos este sistema mediante el siguiente diagrama de bloques:
Donde:
Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos:
Asignamos las siguientes variables de estado
Sustituimos
Además vemos que:
Tenemos que el sistema es:
Tomamos en cuenta que:
Al aplicar la antitransformada de laplace obtenemos que:
Al sustituir las variables de estado tenemos:
Por lo tanto, la salida y(t) a partir del espacio de estados es:
Bibliografías:
[1] L. F. Obando, «La funcion de transferencia,» dademuch, Caracas , 2018.
[2] T. l. d. reservados, «Funcion de transferencia,» cienciasfera, Argentina, 2016.
[3] I. Magaña, «Laplace en circuitos eléctricos,» Instituto técnologico Superior de Motul, México, 2015.
[4] D. Velasquez, «Variables de estado,» Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño, Venezuela, 2018.
[5] L. F. Obando, «Variables de esatdo,» dademuch, Venezuela, 2020.
[6] «Funcion de transferencia,» wikipedia, California, 2016.
