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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Coggle Diagram
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II
PRIMITIVAS
Uma primitiva (ou antiderivada) de 𝑓 em 𝐼 é uma função 𝐹 definida em 𝐼 onde F'(x)=f(x) para qualquer 𝑥 ∈ 𝐼". Isto significa que seja uma função , e a função , então 𝐹 é primitiva de 𝑓 se a derivada de 𝐹 for igual a 𝑓.
INTEGRAL INDEFINIDA
Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral
indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, ela nos ajuda a integrar funções compostas.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
“Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração. Por exemplo, a regra de substituição para integração corresponde à regra da cadeia para a derivação. Aquela que corresponde à regra do produto para a derivação é chamada integração por partes” (STEWART, 2014, p. 420).
A letra grega maiúscula ∑significa “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no
número sob o ∑) e onde ela termina (no número acima do ∑). Quando o símbolo ∞
aparece acima do ∑, significa que os termos continuam indefinidamente.
Fonte: (THOMAS et al., 2012).
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida é definida formalmente como o limite das somas de Riemann de f em um intervalo quando a norma da partição vai para zero.
O TEOREMA FUNDAMENTAL DO
CÁLCULO
estabelece uma relação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Foi Isaac Barrow, mentor de Newton em Cambridge quem descobriu que o problema da
tangente (derivada) e o problema da área (integral) estão relacionados, tal que a derivação
e a integração são processos inversos.
INTEGRAIS DEFINIDAS POR
SUBSTITUIÇÃO
INTEGRAIS DE
FUNÇÕES SIMÉTRICAS
A regra da substituição para integrais definidas pode ser utilizada para simplificar o cálculo
de integrais de funções simétricas. Vamos considerar a função f como contínua no intervalo
simétrico [-a,a]:
• Se f é uma função par, então ∫-aa f(x) dx = 2 ∫0a f(x) dx
• Se f é uma função ímpar, então ∫-aa f(x) dx = 0
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Integrais trigonométricas. Integração de potências de seno e co-seno. Na seção fórmulas de redução, obtivemos as fórmulas.
Integrais de produtos de seno e cosseno, sempre que tivermos que resolver integrais que envolvem o produto de
seno e de cosseno, podemos recorrer ao Quadro:
Integração de produtos de tangente e de secante,
uma estratégia semelhante à que vimos para a integração do produto de seno e cosseno pode ser utilizada quando da integração do produto de tangente e de secante, conforme Quadro abaixo:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
TRIGONOMÉTRICA
A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos.
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
O método de integração por frações parciais é utilizado para resolver integrais quando o integrando não pode ser calculado diretamente, por substituição de variável ou ainda por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações parciais e integrá-la membro a membro.
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Integrais impróprias são integrais definidas em que um ou ambos os limites estão no infinito, ou em que o integrando tem uma assíntota vertical no intervalo de integração.
Sólidos de revolução: método do disco
O método adotado para o cálculo do volume de um sólido de revolução é denominado
de método do disco, visto que uma seção transversal é um disco circular de raio R(x).
SISTEMAS DE COORDENADAS
ESPECIAIS
coordenadas polares
As coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência.
COORDENADAS CILÍNDRICAS
As coordenadas cilíndricas permitem representar um ponto num espaço tridimensional e são uma generalização das coordenadas polares, bidimensionais, acrescentando uma terceira coordenada: a altura, h.
coordenadas esféricas
O Sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico através de um conjunto de três valores, chamados de coordenadas esféricas.
