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SERIES - Coggle Diagram

- - - - RESPUESTA
      - RESPUESTA
      - RESPUESTA
- - - - Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).
        
        Serie de Taylor
        La serie de Taylor de una función f(x) en torno a un valor a en el que la función tiene infinitas derivadas, es una serie de potencias que se define como:
        
        En el entorno | x – a | < r, con r como el radio de convergencia de la serie, se tiene que la serie de Taylor y la función f(x) coinciden.
        Por otra parte, el radio de convergencia r es la distancia que hay del punto a y la singularidad xs más cercana al punto a, siendo los puntos singulares aquellos valores donde el límite de la función tiende a infinito.
        
        Ejercicios resueltos
        
        Ejemplo:
        
        Considerar la misma función f(x) = 1 / (1 + x) del ejemplo 2, pero en esta oportunidad se pide hallar la serie de Taylor de dicha función en torno al punto a = 1.
        
        Solución
        
        Hallamos los sucesivos términos coeficientes de la serie, comenzando por el término independiente que es f(1) = ½.
        
        El próximo coeficiente que corresponde al término de primer orden es:
        
        f’(1)/1! = -¼
        
        El de segundo orden es:
        
        f’’(1)/2! = 2/(23 2!)
        
        Sigue el coeficiente de tercer orden:
        
        f’’’(1)/3! = -6 / (24 3!)
        
        Y así sucesivamente. La serie de Taylor será:
        
        Sf(x) = ½ – 1/22 (x-1) + 1/23(x-1)2 – 1/24 (x-1)3 + 1/25 (x-1)4– …..
- - - - Lo bueno de las series de potencias es que con ellas se pueden expresar funciones y esto tiene muchas ventajas, sobre todo si se quiere trabajar con una función complicada
        
        Esta serie está centrada en el valor c que es constante, pero se puede elegir que c sea igual a 0, en cuyo caso la serie de potencias se simplifica a:
        
        ∑an xn = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …+ an xn
        
        Las series comienzan con ao(x-c)0 y aox0 respectivamente. Pero sabemos que:
        
        (x-c)0=x0 = 1
        
        Por lo tanto ao(x-c)0 = aox0 = ao (término independiente)
        
        Cuando este es el caso, en vez de usar directamente la función, se utiliza su desarrollo en serie de potencias, que puede ser más fácil de derivar, integrar, o trabajar numéricamente.
        
        Desde luego todo queda condicionado a la convergencia de la serie. Una serie converge cuando al sumar cierta cantidad grande de términos se obtiene un valor fijo. Y si sumamos más términos todavía, seguimos obteniendo ese valor.
        
        En esta animación se ve como la serie de potencias se acerca más a la función exponencial a medida que se toman más términos.