Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.

AXIOMAS:

  1. u+v ∈ V
  1. u+v = v+u
  1. (u+v)+w = u+(v+w)
  1. Existe un vector nulo 0V ∈ V tal que v+0V = v
  1. Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈ V tal que v+(–v)=0V
  1. αv ∈ V
  1. α(u+v)=αu+αv
  1. (α+β)v=αv+βv
  1. α(βv)=(αβ)v
  1. 1v=v

Subespacios Vectoriales: Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.


W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

PROPIEDADES:

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Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V).

W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

a. 0V está en W.

b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.

c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.

Combinación Lineal

Cuando se aplica la suma de vectores y la multiplicación por un escalar a un conjunto de vectores, se realiza una combinación lineal. Es decir, la combinación lineal es una expresión del tipo


α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn = x


Por lo tanto, un vector x cualquiera se puede obtener a partir de otros.

Independencia Lineal

Un conjunto es linealmente independiente si no existen combinaciones lineales entre sus vectores; es decir, cada vector existe por s´ı mismo dentro del conjunto. En otra forma, si al combinar linealmente los elementos del conjunto en la forma:


α1v1 + α2v2 + α3v3 + · · · + αnvn = 0


Todos los escalares αi son nulos, entonces el conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn} es linealmente independiente; en otro caso los vectores serán linealmente dependientes. La combinación lineal se conoce como ecuación de dependencia lineal.

Base y dimensión de un espacio vectorial

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.


  • S genera a V.
  • S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

BASE:

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.


La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.


Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como: 


  1.   V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn 

  2.   V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.
Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

PROPIEDADES:

  1. (v, v) ≥ 0
  2. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
  3. (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
  4. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
  5. (u, v) = (v, u)
  6. (αu, v) = α(u, v)
  7. (u, αv) = α(u, v)

Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.


El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero. Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.


Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.