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Hodrick-Prescott Filter - Coggle Diagram

- - - - La serie a filtrar se denominará secuencia de entrada, representada por . Análogamente, la serie filtrada será la secuencia de salida, representada por .
        La función de pérdida expresa una compensación entre la secuencia de salida alineación de los elementos según el polinomio de grado y su ajuste a la secuencia de entrada . λ es el parámetro de suavizado que representa este intercambio.
    - - Para derivar las principales propiedades espectrales de los filtros r, un problema más simple que el se considera la expresada en la ecuación 1. Se supone que la secuencia de entrada y, en consecuencia, la secuencia de salida tiene una longitud infinita. Incorporando esta hipótesis, el problema anterior se modifica para dar:
        
        Usando la transformada de Fourier, se puede ver que la frecuencia
        La respuesta de esta familia de filtros viene dada por:
    - - Esta ecuación establece que el único punto de inflexión para ω ∈ (0,π ) ocurre en la frecuencia en la que ( ) 0.5 Hr,λ ω = , para cada par (r, λ). Entonces, como la frecuencia la respuesta es monótona en este intervalo, los filtros son más selectivos en esta frecuencia. Basado en este hecho, una frecuencia de corte “modificada”, definida como el punto donde ( ) 0.5 Hr,λ ω = , se utilizará en todo el artículo como parámetro de equivalencia.
        
        Respuestas de frecuencia del filtro r para r = 2, 4, 6, 8, 10 y 12
    - - En el Apéndice B se demostrará que las condiciones de primer orden son suficientes para encontrar el solución y generar un sistema lineal de N ecuaciones y N variables, descrito por:
        
        Este proceso de filtrado es equivalente a una transformación lineal. Además, esta transformación es isomorfismo ℜN.
        
        Estructura matricial B(r)
    - - Esta subsección tiene como objetivo analizar el hecho de que los filtros r pueden interpretarse como un generalización del ajuste polinomial por mínimos cuadrados (LSPA) usando un grado (r-1) polinomio. Un paso técnico importante para cumplir con este propósito consiste en construir una superficie en N ℜ , en adelante denominada r M , que abarque todos los polinomios de grado (r-1)
        
        En este caso particular, a1 y a2 serían respectivamente el intercepto y el coeficiente angular de esta recta.