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向量的意義及其運算 向量的內積 三年乙班 1號 詹凱揚 指導老師：陳永富老師 - Coggle Diagram
向量的意義及其運算
向量的內積
三年乙班
1號
詹凱揚
指導老師：陳永富老師
有向線段
由 A 點到 B 點的方向
稱為由 A 點到 B 點的有向線段
向量
向量 AB是具有方向與大小的量
A 稱為始點
B 稱為終點
零向量
始點與終點為同一點的向量
反向量
方向相反且長度相等的兩向量
向量相等
若兩向量 a、b方向相同且長度相等,則兩向量相等
單位向量
長度為 1 的向量稱為單位向量
向量的加法
平行四邊形法
三角形法
向量坐標表示法
向量的長度
線段的長度代表向量的大小
向量的加法
將兩個向量的頭尾相連
再從最初的起點畫一條直線至最末的終點
向量的減法
將向量A－向量B
即 A－B = A + (－B）
視為向量A＋(－向量B）
向量的平行
向量的夾角
固定向量
在一些上下文中
尤其在物理學領域
有些向量會與起點有關
如一個力與其的作用點有關
質點運動速度與該質點的位置有關
因而假設向量有確定的起點和終點
當起點和終點改變後
構成的向量就不再是原來的向量
這樣的向量也被稱為固定向量
例子之一是運動學中常見的物理量位置矢量
自由向量
在另一些時候
由於向量的共性都具有大小和方向
會認為向量的起點和終點並不那麼重要
兩個起點不一樣的向量
只要大小相等
方向相同
就可以稱為是同一個向量
這樣的向量被稱為自由向量
在數學中
一般只研究自由向量
並且數學中所指的向量就是指自由向量
就是只要大小以及方向一樣
即可視為同一向量
與向量的起始點並無關係
一些文獻中會提到向量空間帶有一個特定的原點
這時可能會默認向量的起點是原點
形式表示
使用符號的形式
對向量規定的一個概念化代號
包括數學和物理等諸多領域均被廣泛採用
優點是簡潔明了
缺點是高度形式和抽象
缺少幾何形象性
缺少定量精確性
幾何表示
向量通常被標示為一個帶箭頭的有向線段
線段的長度表示向量的大小（或稱模長）
向量的方向即箭頭所指的方向
該種表示的優點是具有強烈的幾何直觀形象性
缺點是在紙面上作圖繁瑣
不便定量分析
代數表示
代數表示指在指定了一個坐標系之後
用一個向量在該坐標系下的坐標來表示該向量
兼具了符號的抽象性和幾何形象性
因而具有最高的實用性
被廣泛採用於需要定量分析的情形
對於自由向量
將向量的起點平移到坐標原點後
量就可以用一個坐標系下的一個點來表示
該點的坐標值即向量的終點坐標
零向量
始點與終點重合
即大小為0的向量
被稱為零向量（Zero vector）
記以數字0上加箭頭
有時亦可以用粗體的0表示
不論含有多少分量
不論指向任何方向
若所有的分量均為0的向量即為零向量
零向量依舊具有方向性，但方向不定
零向量與任一向量平行
零向量不等於數量0
它們是兩種性質完全不同的物件
等向量
不論起點終點
兩向量長度、方向相等
即為等向量或相等向量
夾角
向量的夾角（Included angle）是對於兩個向量而言的概念
由於夾角具有互補性
因此在不同的出發規定
不同的旋轉方向下
所得夾角亦不同
向量的夾角可由數量積的定義導出計算公式
