Funcţii continue
Funcţii continue într-un punct
Definirea continuităţii
Funcţie continuă
Punct de continuitate
Domeniu de continuitate
Funcţie discontinuă
Punct de discontinuitate
Teorema lui Heine
Continuitate laterală
Funcţie continuă la stânga
Funcţie continuă la dreapta
Funcţie continuă pe o mulţime
Reţinem! Orice funcţie elementară este continuă.
Punctul în care funcţia f nu este continuă.
Punct de discontinuitate de prima speţă
Punct de discontinuitate de speţa a doua
Discontinuităţile funcţiilor monotone
Punctele de discontinuitate ale unei funcţii monotone sunt puncte de discontinuitate de prima speţă.
Operaţii cu funcţii continue
Dacă funcţiile f şi g sunt continue pe D, atunci şi funcţiile 
sunt continue pe mulţimea D, cu condiţia ca ele să fie definite pe D.
Continuitatea funcţiilor compuse
Proprietăţi ale funcţiilor continue pe intervale
Existenţa soluţiilor unei ecuaţii
Teorema Cauchy-Bolzano
Fie o funcţie continuă pe intervalul I şi a,b din I, a<b. Dacă valorile f(a) şi f(b) ale funcţiei f au semne contrare, atunci există , astfel încât f(c)=0.
Stabilirea semnului unei funcţii
Teoremă
Proprietatea lui Darboux
Fie o funcţie şi un interval. Funcţia f are proprietatea lui Darboux pe intervalul I dacă oricare ar fi punctele a,b din I, a<b şi oricare ar fi cuprins între valorile f(a) şi f(b), există un punct astfel încât
Teorema Cauchy-Weierstrass-Bolzano
Funcţia f se numeşte funcţie continuă în punctul dacă este punct izolat al mulţimii D, sau dacă este punct de acumulare al mulţimii D.
Un punct în care funcţia f este continuă se numeşte punct de continuitate al funcţiei f.
Mulţimea C={ | f este continuă în } se numeşte domeniu de continuitate al funcţiei f.
Dacă funcţia f nu este continuă în , ea se numeşte funcţie discontinuă în .
Problema continuităţii unei funcţii f nu se pune în punctele în care funcţia nu este definită şi nici la
Fie o funcţie reală de variabilă reală şi Funcţia f este continuă în punctul , dacă şi numai dacă pentru oricare şir şi rezultă că
Funcţia f se numeşte continuă la stânga în punctul dacă
Funcţia f se numeşte continuă la dreapta în punctul dacă
Observaţie! O funcţie poate fi continuă la stânga într-un punct fără a fi continuă la dreapta în acel punct, şi reciproc.
O funcţie se numeşte continuă pe mulţimea dacă este continuă în fiecare punct
Dacă funcţia este continuă pe mulţimea D se spune că ea este funcţie continuă.
Un punct de discontinuitate este punct de discontinuitate de prima speţă pentru funcţia f, dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul există şi sunt finite.
Un punct de discontinuitate al funcţiei f în care cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul nu este finită sau nu există se numeşte punct de discontinuitate de speţa a doua.
Dacă funcţiile f şi g sunt discontinue în , atunci nu se poate afirma nimic referitor la funcţiiile f+g, fg şi f/g.
Dacă funcţia f este continuă pe D, iar funcţia u este continuă pe A, atunci funcţia este continuă pe mulţimea A.
Dacă funcţia f sau u este discontinuă în , sau respectiv în nu rezultă în mod ecesar că funcţia compusă este discontinuă în .
Prin compunerea a două funcţii, cel puţin una fiind discontinuă, nu se poate preciza nimic despre continuitatea funcţiei compuse.
Dacă funcţia este continuă pe intervalul I şi atunci f are acelaşi semn pe intervalul I.
Acest rezultat permite ca pentru o funcţie continuă să se poată stabili semnul pe un interval pe care ea nu se anulează, cunoscând doar semnul unei valori a funcţiei într-un singur punct din interval.
Acest rezultat ne permite să arătăm că anumite ecuaţii au cel puţin o soluţie într-un interval dat.
Fie o funcţie continuă şi un interval. Atunci f are proprietatea lui Darboux pe intervalul I.
Dacă funcţia f are proprietatea lui Darboux pe I, atunci ea nu poate avea decât discontinuităţi de speţa a doua.
Fie şi punct de acumulare pentru D în care f are limite laterale. Funcţia f este continuă în dacă şi numai dacă: f( -0)= f( +0)=f( )