Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Funcţii continue - Coggle Diagram
Funcţii continue
Funcţii continue într-un punct
Definirea continuităţii
Funcţie continuă
Funcţia f se numeşte funcţie continuă în punctul
dacă
este punct izolat al mulţimii D, sau
dacă
este punct de acumulare al mulţimii D.
Punct de continuitate
Un punct
în care funcţia f este continuă se numeşte punct de continuitate al funcţiei f.
Domeniu de continuitate
Mulţimea C={
| f este continuă în
} se numeşte domeniu de continuitate al funcţiei f.
Funcţie discontinuă
Dacă funcţia f nu este continuă în
, ea se numeşte funcţie discontinuă în
.
Punct de discontinuitate
Punctul în care funcţia f nu este continuă.
Punct de discontinuitate de prima speţă
Un punct de discontinuitate
este punct de discontinuitate de prima speţă pentru funcţia f, dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul
există şi sunt finite.
Punct de discontinuitate de speţa a doua
Un punct de discontinuitate
al funcţiei f în care cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul
nu este finită sau nu există se numeşte punct de discontinuitate de speţa a doua.
Teorema lui Heine
Fie
o funcţie reală de variabilă reală şi
Funcţia f este continuă în punctul
, dacă şi numai dacă pentru oricare şir
şi
rezultă că
Problema continuităţii unei funcţii f nu se pune în punctele în care funcţia nu este definită şi nici la
Continuitate laterală
Funcţie continuă la stânga
Funcţia f se numeşte continuă la stânga în punctul
dacă
Funcţie continuă la dreapta
Funcţia f se numeşte continuă la dreapta în punctul
dacă
Funcţie continuă pe o mulţime
O funcţie
se numeşte continuă pe mulţimea
dacă este continuă în fiecare punct
Dacă funcţia
este continuă pe mulţimea D se spune că ea este funcţie continuă.
Reţinem!
Orice funcţie elementară este continuă.
Observaţie!
O funcţie poate fi continuă la stânga într-un punct fără a fi continuă la dreapta în acel punct, şi reciproc.
Fie
şi
punct de acumulare pentru D în care f are limite laterale. Funcţia f este continuă în
dacă şi numai dacă: f(
-0)= f(
+0)=f(
)
Discontinuităţile funcţiilor monotone
Punctele de discontinuitate ale unei funcţii monotone sunt puncte de discontinuitate de prima speţă.
Operaţii cu funcţii continue
Dacă funcţiile f şi g sunt continue pe D, atunci şi funcţiile
sunt continue pe mulţimea D, cu condiţia ca ele să fie definite pe D.
Continuitatea funcţiilor compuse
Dacă funcţia f este continuă pe D, iar funcţia u este continuă pe A, atunci funcţia
este continuă pe mulţimea A.
Dacă funcţia f sau u este discontinuă în
, sau respectiv în
nu rezultă în mod ecesar că funcţia compusă
este discontinuă în
.
Prin compunerea a două funcţii, cel puţin una fiind discontinuă, nu se poate preciza nimic despre continuitatea funcţiei compuse.
Dacă funcţiile f şi g sunt discontinue în
, atunci nu se poate afirma nimic referitor la funcţiiile f+g, fg şi f/g.
Proprietăţi ale funcţiilor continue pe intervale
Existenţa soluţiilor unei ecuaţii
Teorema Cauchy-Bolzano
Fie
o funcţie continuă pe intervalul I şi a,b din I, a<b. Dacă valorile f(a) şi f(b) ale funcţiei f au semne contrare,
atunci există
, astfel încât f(c)=0.
Acest rezultat ne permite să arătăm că anumite ecuaţii au cel puţin o soluţie într-un interval dat.
Stabilirea semnului unei funcţii
Teoremă
Dacă funcţia
este continuă pe intervalul I şi
atunci f are acelaşi semn pe intervalul I.
Acest rezultat permite ca pentru o funcţie continuă să se poată stabili semnul pe un interval pe care ea nu se anulează, cunoscând doar semnul unei valori a funcţiei într-un singur punct din interval.
Proprietatea lui Darboux
Fie
o funcţie şi
un interval. Funcţia f are proprietatea lui Darboux pe intervalul I dacă oricare ar fi punctele a,b din I, a<b şi oricare ar fi
cuprins între valorile f(a) şi f(b), există un punct
astfel încât
Teorema Cauchy-Weierstrass-Bolzano
Fie
o funcţie continuă şi
un interval. Atunci f are proprietatea lui Darboux pe intervalul I.
Dacă funcţia f are proprietatea lui Darboux pe I, atunci ea nu poate avea decât discontinuităţi de speţa a doua.
