Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Компьютерное моделирование - Coggle Diagram
Компьютерное моделирование
Математическая модель
типы
прямая задача:
Все параметры исследуемой системы известны. Изучается поведение модели в различных условиях.
PV=(m/M)RT => P,V, =>T
обратная задача:
Требуется определить значения параметров модели по известному поведению системы как целого.
Ид. газ => PV=(m/M)RT
управляющие системы:
Модель имеет дело с автоматизированными информационными системами управления
Этапы построения
Формирование законов, связывающих основные объекты модели
Исследование математической задачи
Проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики
Анализ модели и ее модификация
Этапы изучения
Создание качественной модели(выявить главные черты поведения объекта)
Создание математической модели
Изучение математической задачи
Разработка алгоритма решения задачи
Создание и реализации программы
Вывод и накопление результатов
Использование полученных результатов
Качественная теория динамических систем
колебания тела неправильной формы относительно точки подвеса, несовпадающей с центром масс.
Предположение модели:
1)Сопротивление движения отсутствует;2)Тело при движении не деформируется. 3)Сила трения в т.О пренебрежимо мала;
Обозначения:
I – момент инерции относительно т.О//L – длина отрезка ОС//m – масса тела// Ф - угол отклонения
Уравнение движения тела:
IE=M//M –сумма моментов всех сил, действующих на тело//Е – угловое ускорение
Движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия
Интегральные кривые, на которых указано направление движения, называются фазовыми траекториями.
Координатная плоскость - фазовая плоскость.
Замкнутые фазовые траектории соответствуют финитному или ограниченному движению. Точка с нулевыми координатами является особой точкой покоя мат. маятника.
Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия
Сводка результатов по классификации динамических систем
Алгоритм исследования динамической системы
Определить особые точки динамической системы из уравнения P(x,y)=Q(x,y)=0
Вблизи особых точек с координатами (x0,y0) привести систему уравнений к виду:
Такая система является линеаризованной, т.к. содержит только линейные слагаемые. При линеаризации тип особой точки сохраняется, кроме следующих случаев:
А.
Особой точкой линеаризованной системы является центр. Особой точкой исходной системы может быть либо центр, либо фокус.
Б. Если хотя бы один из корней линеаризованной системы = 0, то для анализа исходной системы требуется дополнительное исследование.
Определить тип особых точек динамической системы.
Моделирование биологических систем
Эти графики описывают поведение логистической кривой в зависимости от соотношений параметров модели
Модель Вольтерры является неустойчивой: при скачкообразном изменении одной популяции, другая популяция также меняет свой характер, и система переходит из одной фазовой траектории на другую. Особая точка не является грубой, т.е. при внесении в систему бесконечно малых возмущений, она может изменить свой характер.
Моделирование химических процессов
Предположения для химических реакций:
Вещество А дано в избытке и молекулы вещества А превращаются в молекулы Х со скоростью V=k0.
Молекулы вещества Х превращаются в молекулы У со скоростью тем большей, чем больше концентрации веществ Х и У.
Вещество У необратимо распадается на вещество В.
Скорость химической реакции при постоянной t0 пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент в реакции.
Теория предельных циклов. Автоколебания.
Изолированная траектория, в окрестности которой нет других замкнутых траекторий – предельный цикл.
Особенность этой траектории - все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории.
Классификация предельных циклов
В физических, химических, биологических системах могут возникать автоколебания – незатухающие колебания. На фазовой плоскости автоколебанию соответствует предельный цикл. Предельный цикл – замкнутая траектория, на которую наматываются все фазовые траектории из некоторой ее окрестности. Фазовая траектория, которая соответствует предельному циклу – аттрактор – изолированная особая траектория.
Устойчивый предельный цикл – все фазовые траектории из некоторой окрестности стремятся к нему при t→+∞.
Неустойчивый предельный цикл – все фазовые траектории из некоторой окрестности стремятся к нему при t→-∞.
Полуустойчивый предельный цикл – фазовые траектории с одной стороны стремятся к нему, а с другой стороны от него.
Самоорганизация и образование структур
Точечные модели – модели в которых искомые величины зависят только от времени.
распределенные модели – модели, в которых переменные меняются не только во времени, но и в пространстве.
Системы, в которых могут возникать устойчивые пространственные неоднородные связи в результате развития неустойчивостей в однородной диссипативной среде – диссипативные.
Автоволны – периодические, самоподдерживающиеся волны или активности.
В зависимости от вида функций P(x,y), Q(x,y) и коэффициентов Di в системах могут возникать следующие типы поведения переменных или вида самоорганизации:
Распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса (цунами, нервный импульс):
Стоячие волны (волна при отражении от препятствия):
Синхронные автоколебания разных элементов во всем пространстве (общая среда, механизмы живой клетки):
Квазистохастические волны, которые получаются при случайном возмущении разности фаз колебаний в 2-х точках пространства:
Стационарное неоднородное распределение переменных в пространстве - диссипативные структуры:
Генерация волн автономным источником импульсной активности. В качестве такого источника могут быть локальные возмущения переменных (колебание струны):
Хаотическое поведение динамических систем
Динамический хаос – хаотическое поведение динамических систем, которое описывается полностью детерминированными дифференциальными уравнениями.
Для возникновения хаоса необходимо выполнение 2-х условий:
Система должна быть нелинейна.
Система дифференциальных уравнений, описывающая дифференциальную модель, должна проявлять зависимость от начальных условий.
Не менее 3-х переменных (придерживаются не все исследователи).
Аттрактор странный – область приближения фазовых траекторий, имеющая фрактальную структуру; некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри.
Фракталы
Математическая теория фракталов
Фрактал – структура, состоящая из частей, которые подобны целому.
примеры фракталов
Снежинка Коха
Кривая Госпера
Кривая Серпинского
Кривая Гильберта
Теория размерностей
Размерность самоподобия(В общем случае 1 = (l^d)N)
Размерность Хаусдорфа-Безиковича
Теория стохастических моделей. Элементы теории случайных процессов
Случайный процесс (случайная функция времени)
Случайная функция –случайная величина, зависящая не только от случайного события ω, но и от какого-либо параметра. Если этот параметр – время, то случайная функция называется случайным процессом и обозначается ξ (t,ω).
Метод Монте-Карло
- общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.
Теория перколяций - При достижении порога перколяции по узлам занятые узлы бесконечной решетки образуют кластеры всех размеров из связанных между собой узлов.
Клеточные автоматы
Если состояние системы в произвольный момент времени характеризуется лишь ее предыдущим состоянием и набором правил, регламентирующих ее переход, то она называется автоматом.
Клеточные автоматы широко применяются для моделирования систем, в которых важную роль играет пространственное взаимодействие между элементами.
Классификация по типам поведения:
Класс 1: Результатом эволюции начальных условий является быстрый переход к гомогенной стабильности. Любые негомогенные конструкции быстро исчезают.
Класс 2: Результатом эволюции начальных условий является быстрый переход в неизменяемое негомогенное состояние либо возникновение циклической последовательности. Большинство структур начальных условий быстро исчезает, но некоторые остаются. Локальные изменения в начальных условиях оказывают локальный характер на дальнейший ход эволюции системы.
Класс 3: Результатом эволюции почти всех начальных условий являются псевдо-случайные, хаотические последовательности. Любые стабильные структуры, которые возникают почти сразу же уничтожаются окружающим их шумом. Локальные изменения в начальных условиях оказывают неопределяемое влияние на ход эволюции системы.
Класс 4: Результатом эволюции являются структуры, которые взаимодействуют сложным образом с формированием локальных, устойчивых структур. В результате эволюции могут получаться некоторые последовательности Класса 2, описанного выше. Локальные изменения в начальных условиях оказывают неопределяемое влияние на ход эволюции системы. Некоторые клеточные автоматы этого класса обладают свойством универсальности по Тьюрингу.
Генетические алгоритмы
Формируют новые знания на основании механизмов:
Приспособляемость
Естественный отбор
Наследование
Терминология
Ген (свойство, знак, детектор) – атомарный элемент генотипа (набор хромосом, характеризует особь)
Хромосома – упорядоченная последовательность генов (цепочка генов)
Локус (лок) – позиция данного гена в хромосоме
Аллель – значение конкретного гена, определяющее свойство организма
Генотип - набор хромосом, характеризует особь
Фенотип – набор внешних свойств, соответствующих данному генотипу. В формализме ГА фенотип – декодированная из хромосом структура, описывающая реальные параметры задачи.
Популяция - конечное множество особей с одинаковым генотипом
Базовые принципы
Имеется некоторая задача, ее решение – новое знание, которое является логическим следствием значений параметров, описывающих данную задачу.
В ГА обрабатываются не сами параметры задачи, а их закодированная форма в виде хромосом.
На множестве хромосом определяется целевая функция приспособляемости, оценивающая уровень приспособленности д/каждой хромосомы.
Решение задачи ищется в закодированном виде, обладающих наиболее высокими значениями целевой функции приспособляемости.
При поиске решения используется только целевая функция без ее производных и какой-либо другой дополнительной информации.
Поиск решения происходит не из одной точки (хромосомы), а из некого их множества.
Порождение нового поколения хромосом осуществляется на основе вероятностных механизмов выбора, а не детерминированности.
Операторы
Селекция – метод рулетки
Оператор скрещивания – одноточечное
Оператор мутации
