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Ecuaciones Lineales, Tipos de Solución - Coggle Diagram
Ecuaciones Lineales
Métodos de Solución
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Gauss - Jordan: Es un algoritmo de álgebra lineal para determinar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, encontrar matrices equivalentes e inversas. Este método utiliza operaciones de fila en la matriz aumentada para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales
Matriz aumentada
Dos matrices aumentadas son equivalentes según sus filas, si estas son de sistemas de ecuaciones equivalentes. Las operaciones de filas siguientes transforman matrices aumentadas en matrices aumentadas equivalentes.
- Intercambiar dos filas de posición.
- Multiplicar una fila por una constante distinta a cero.
- Sumar o restar una fila y un múltiplo de otra fila.
Inversa de una matriz: Supongamos que tenemos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Podemos representarlo de forma matricial como: Ax = b
Donde:
1.La matriz A es de dimensión nxx y contiene en cada fila los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
- La matriz x es de dimensión nx1 (una columna) y contiene las n incógnitas del sistema.
- La matriz b es de dimensión nx1 y contiene los términos independientes de las ecuaciones.
Si el sistema tiene una única solución, entonces la matriz A es regular, por lo tanto, existe su matriz inversa.
Entonces podemos multiplicar toda la ecuación por la inversa de A-1
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Regla Cramer: Nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, es decir, con una única solución. El sistema tiene que ser cuadrado (tantas ecuaciones como incógnitas) y la matriz de coeficientes debe ser regular (determinante distinto de 0)
A * B = b
Donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna con las incógnitas y b es la matriz columna con los términos independientes. Bajo estas condiciones, la regla Cramer es la siguiente:
La incógnita Xi del sistema AX = b es
Donde Ai es la matriz A, pero cambiando la columna i de A por la columna de términos independientes, b.
Clasificación
Se pueden clasificar según el número de posibles soluciones, recordando que la solución de las ecuaciones se encuentra sustituyendo las variables por valores.
Sistema posible y determinado (SPD): Solo hay una solución posible, que ocurre cuando el determinante es diferente de 0
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Definición: Son agrupaciones de ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas, de los cuales se necesita encontrar una solución común. El sistema puede contener m ecuaciones y n incógnitas, y su solución ser única, como también tener infinitas posibilidades o no tener ningún tipo de respuesta.
Tipos de Solución
Método de Reducción: Se busca eliminar una de las variables sumando o restando las ecuaciones, de ser necesario, se multiplican las ecuaciones por números reales apropiados.
Método de Sustitución: Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituir el despeje en la otra. Se puede escoger cualquiera de las variables y cualquiera de las ecuaciones.
Método de igualación: Es necesario despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar luego el resultado.
Método Gráfico: Cada una de las ecuaciones del sistema propuesta corresponde a una recta en el plano, si se grafican ambas rectas puede determinar su intersección, que es el punto común a ambas y la solución del sistema.