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Teorema de limites y criterios de continuidad funcion - Coggle Diagram
Teorema de limites y criterios de continuidad
Principales teoremas de limites
Definición
Sean
n
un entero positivo,
k
una constante y f y g funciones que tengan limites en c
Teorema 1
Ejemplo: lim x→2 10 = 10
Teorema 2
Ejemplo: lim x→2 2 = 2
Teorema 3
Ejemplo: lim x→8 5x = 5 lim x→8 x = 5*8 = 40
Teorema 4
lim x-->c [f(x) + g(x)] = lim x-->c f(x) + lim x-->c g(x)
Ejemplo: lim x→5 (10x + 7) = lim x→5 10x + lim x→5 7 = 10 lim x→5 x + 7 lim x→5 = 10*5 + 7 = 57
Teorema 5
lim x→c [f(x) - g(x)] = lim x→c f(x) - lim x→c g(x)
lim x→1 (5x - 1/x) = lim x→1 5x - lim x→1 1/x = 5 + 1 = 6
Teorema 6
lim x→c [f(x) · g(x)] = lim x→c f(x) · lim x→c g(x)
Ejemplo: lim x→>1 5x · (1+x) = lim x→> 5x · lim x→1 (1+x) = 5 + 2 = 10
Teorema 7
lim x→>c f(x) / g(x) = lim x→>c f(x) / lim x→c g(x), siempre que lim x→c ≠ 0
Ejemplo: lim x→-2 (x+2) / (x-1) = lim x→>-2 (x+2) / lim x→-2 (x-1) = 0 / -3 = 0
Teorema 8
Ejemplo: lim x→1 5x^(1 + 1 / x) = lim x→1 5x ^lim (1 + 1/ x) = 5^2 = 25
Teorema 10
Ejemplo: lim x→5 √5x = √lim x→5 5x = √25 = 5
Teorema 11. Teorema de sustitución.
Si f es una función polinomial o una función racional, entonces lim x→c f(x) = f(c) con tal que f(c) este definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador en c no sea cero.
Ejemplo: lim x→2 (7x^5 - 10x^4 -13x + 6) / (3x^2 - 6x - 8) = (7(2)^5 - 10(2)^4 - 13(2) + 6) / (3(2)^2 - 6(2) - 8) = -11/2
Teorema 12
si f(x) = g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en el mismo numero c, y si existe lim x→c g(x) entonces lim x→c f(x) existe y lim x→c f(x) = lim x→c g(x)
Ejemplo lim x→1 (x - 1) / (√x - 1) = lim x→1 [(√x - 1) (√x + 1)] / (√x - 1) = lim x→1 (√x + 1) = √1 + 1 = 2
Teorema 13. Teorema de emparedado.
Sean f, g y h funciones que satifacen f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lim x→c f(x) = lim x→c h(x) = L, entonces lim x→c g(x) = L
Ejemplo: Suponga que hemos demostrado que 1 - x^2 / 6 ≤ (sen x) / x ≤ 1para toda x cercana pero distinta de cero. ¿Que podemos concluir acerca de lim x→0 senx / x ? Solución Sea f(x) = 1 - x^2 / 6, g(x) = (sen x) / x, y h(x) = 1. Se sigue que lim x→0 f(x) = 1 = lim x→0 h(x) y de este modo, por el teorema 12, lim x→0 senx / x = 1
Teorema 9
lim x→c x^n = c^n
Ejemplo lim x→5 2x^2 = 2(5)^2 = 10^2 = 100
Teorema 14
Sean lim x→c f(x) = L1 ≠ 0 y Lim x→c g(x) = 0. Entonces lim x→c f(x) / g(x) no existe
Teorema 15
Si lim x→c f(x) existe, entonces es unico
Teorema 16
lim x→c f(x) = L si y solo si lim x→c- f(x) = L = lim x→a+ f(x)
Teoremas de limites de funciones trigonometricas
Definición
Para todo número real c en el dominio de la función
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Teorema 8
Limites infinitos
Sea f definida en [c,∞) para algún número c. Decimos que x→∞ f(x) = L, si para cada ε > 0 existe un correspondiente número M, tal que x > M → |f(x) - L| < ε
Sea f definida en (-∞,c] para algún número c. Decimos que x→-∞ f(x) = L, si para cada ε > 0 existe un correspondiente número M, tal que x < M → |f(x) - L| < ε
Sea an definida para todos los números naturales mayores o iguales que algún número en c. Decimos que lim n→∞ an = L, si para cada ε > 0 existe un correspondiente número M, tal que n > M → |an - L| < ε
Decimos que lim x→c f(x) = ∞, si cada numero positivo M corresponde una δ > 0 tal que 0 < x - c < δ → f(x) > M
Continuidad
Definición
Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si lim x→c f(x) = f(c)
Criterios de continuidad
1.- que lim x→c f(x) existe
2.- que f(c) existe (es decirm c esta en el dominio de f)
3.- lim x→c f(x) = f(c)
Bibliografia
1.- Purcell, E., Varberg, D. y Rigdon, S.(2007). (pp. 68-70, 72, 74, 75, 78, 79 y 83).
Cálculo
. (9° edición). México: PEARSON
2.- Zill, D. y Wright, W. (2011). (pp. 94-97 y 99).
Matemáticas I. Cálculo diferencial.
(primera edición). México: Mc Graw Hill
3.- Stewart, J. (2018). (pp. 99 y 101).
Cálculo. Trascendentes tempranas
(8° edición). México: CENGAGE
4.- Matemáticas 10.
Limite de las resta de funciones.
Recuperado de:
https://www.matematicas10.net/2017/05/limite-de-la-resta-de-funciones.html
5.- Matemáticas 10. Ejemplos de límites. Recuperado de:
https://www.matematicas10.net/2017/05/ejemplos-de-limites.html
6.- benjaminec.
Intersección de dos funciones matemáticas mostrad...
Recuperada el 15 de octubre del 2022, de
https://sp.depositphotos.com/228853582/stock-photo-intersection-two-mathematical-functions-shown.html
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