Fonctions d'une variable réelle
Généralités
Courbe représentative :
C_f = {(x;y), y ∈ Df}
Périodicité et parité :
f est paire <=> ∀(x,-x) ∈ Df | f(x)=f(-x)
f est impaire <=> ∀(x,-x) ∈ Df | -f(x)=f(-x)
La fonction est paire <=> symétrique a l'axe des ordonées
La fonction est impaire <=> symétrique a l'origine
f est périodique <=> ∀(x,x+T)∈ Df, f(x)=f(x+T)
avec T la période
Définition :
Application de Df dans R avec Df l'ensemble de définition de la fonction
Composition de fonctions :
Soit g et f deux fonctions gof est leur composée tq gof=g(f(x))
Fonctions réciproques :
f est une bijection de E dans F <=> ∀y ∈ F, ∃! x ∈ E | f(x)=y
f ets une bijection réciproque <=> ∀x ∈ F, f ° (f^-1)(x)=x et ∀x ∈ E, (f^-1)°f(x)=x
Limite et continuité
En ℓ:
La fonction f a pour limite ℓ en x0 si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient f(x) pour x proche de x0
En l'infini :
- La fonction f a pour limite ℓ en +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient f(x) pour x assez grand
- La fonction f a pour limite +∞ en +∞ si et seulement si tout intervalle ]A;+∞[ contient f(x) pour x assez grand
- La fonction f a pour limite -∞ en +∞ si et seulement si tout intervalle ]-∞;A[ contient f(x) pour x assez grand
De même pour -∞
Unicité de la limite
Soit f et g avec lim┬(x→a)f(x)=b et lim┬(x→a)g(x)= ℓ
Alors lim┬(x→a) g°f(x)=ℓ
Croissances comparées
Continuité :
f est continu en a <=>lim┬(x→a)f(x)=a
f est continu sur I si elle est continu en tout point de I
Point fixe :
∀n ∈ ℕ, U¬¬(n+1)=f(Un) et si (Un) converge vers ℓ et f est continue en ℓ
Alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ
Théorème des valeurs intérmédiaires
Théorème de bijection
Dérivabilité d'une fonction
f est dérivable en a <=>∃ ℓ ∈ R | lim┬(x→a) ((f(x)-f(a))/(x-a)) = ℓ
ou lim┬(h→0) ((f(a+h)-f(a))/h) = ℓ
Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
Fonction dérivée :
Soit f est dérivable sur I, alors sa fonction dérivée f' associe sur I tout élément de x au nombre dérivée de f en x
Tableaux des dérivées de fonctions usuelles
Tableaux de dérivées de compostions de fonctions
Propriété :
Soit f un bijection de I dans J, dérivable et ne s'annulant pas sur I
Alors f^(-1) est dérivable sur J et ∀x ∈ J, (f^(-1))'=1/(f'*f^(-1)(x))