Didaktische Prinzipien im Fach Mathematik

EIS-Prinzip (J. Bruner)

Spiralprinzip (J. Bruner)

"Die Grundideen eines Faches können jedem Kind, gleich welcher Altersstufe oder sozialen Herkunft, auf der Grundlage der Denkmittel, die es mitbringt, und der Darstellungsmittel, die es versteht, in entsprechend einfacher Form vermittelt werden."

Beziehungslinien und -netze, rote Fäden

Ausrichtung des Unterrichts an fundamentalen Ideen (Algorithmus / Funktion / Linearität / Invarianz / Approximation / Modellbildung; Beweisen / Optimieren / ...)

Prinzip des vorwegnehmenden Lernens: Thema auf früheren Stufen bereits in einfacher Form einleiten

Prinzip der Fortsetzbarkeit: Ausbau auf höherem Niveau möglich

Inhalte immer wieder aufgreifen, ausdifferenzieren und mit neuen Vorstellungen anreichern (auf verschiedenen kognitiven und sprachlichen Niveaus bis hin zur abstrakten, formalisierten Darstellung)

sokratisches Prinzip (M. Wagenschein)

"Fragen ist das bedeutsamste geistige Werkzeug, das den Menschen zur Verfügung steht." (Postman, 1999)

Initiierung und Steuerung des Lernprozesses durch Fragen des/der Lehrenden

Unterricht, der Fragen der Lernenden herausfordert

genetisches Prinzip (H. Aebli, F. Klein, O. Toeplitz, M. Wagenschein)

Problematisierung der Begriffsentwicklung im Rahmen der Genese mathematischer Begriffe

"Welche Fragen und Probleme führten zu den Begriffen?"

Mathematik nicht als Fertigprodukt lehren, sondern Einblicke in den Prozess der Entstehung gewähren

inner- und außermathematische Beziehungen herstellen

Abspeichern von Wissen in Beziehungsnetzwerken / Schemata

Integrationsprinzip: Lernen mathematischer Begriffe in Beziehungsnetzen und Sinnzusammenhängen

Eingliedern in und Erweitern von vorhandenen Begriffsnetzen

Realitäts- und Lebensnähe

produktives Üben und Wiederholen

Anwendung des Gelernten in ähnlichen Situationen

Wissenssicherung und -vertiefung

Regelmäßigkeit, Konsequenz

integrierend: bereits gelernte Dinge immer wieder in neuen Kontexten aufgreifen

Erlernen und Festigen von Schemata

Eigenverantwortlichkeit für das Lernen

Orientierung daran, was später gebraucht wird

Sinnzusammenhänge

operatives Prinzip (H. Aebli, inspiriert von J. Piaget)

Intelligenz als Summe von Aktivitäten, mit deren Hilfe das Individuum mit der Umwelt erfolgreich in Wechselwirkung getreten ist

Denken als verinnerlichtes Handeln

Denken als System von Operationen aufgebaut

Aufbau einer Operation = Verinnerlichung (konkret / figural / symbolisch) + operative Bearbeitung (variabel und sinnbezogen)

Objekte und System der an ihnen ausführbaren Operationen deutlich werden lassen (Eigenschaften / Beziehungen / Funktionen bei Transformationen)

operatives Üben: verschiedene Lösungswege / Umkehrung der Fragestellung / Variation in die Rechnung eingehender Größen / Dekonstruktion oder Synthese des Problemlöseprozesses

enaktiv: Erkenntnisgewinn durch Handlung

ikonisch: Erkenntnisgewinn durch angeschaute / vorgestellte Bilder (insbesondere stilisiert oder schematisiert)

symbolisch: Darstellung durch Sprache und Zeichen

Prinzip der Selbsttätigkeit

geplante, zielorientierte Aktivität

kritische Reflexion der eigenen Tätigkeit

Motivation durch eigenen Erfolg

Freiräume für Denken und Handeln

Anknüpfen an Vorverständnis und Erfahrungswelt der Lernenden

Berücksichtigung der Entwicklungs- und Verständnisstufen der Lernenden

Fundamentale Ideen des Mathematikunterrichts nach Heymann (1996)

Zahl

Messen

räumliches Strukturieren

funktionaler Zusammenhang

Algorithmus

mathematisches Modellieren

fachübergreifende mathematische Konzepte ("big ideas" von PISA)

Veränderung und Wachstum

Raum und Form

quantitatives Denken

Aufbauprinzip: Konstruktion eines Begriffs hat der Analyse voranzugehen

Form des entdeckenden Lernens

"das Zustandekommen und die allmähliche Entwicklung von Fragestellungen gehört wesentlich zur Wissenschaft selber" (Wittenberg, 1990)

Lernen, Fragen zu stellen, ist zentrales Bildungsziel

Begriffshierarchie entwickeln, Beziehungen zwischen den Begriffen herstellen

Lernen = Eingliedern in und Erweitern der vorhandenen Begriffsnetze

Entwickeln von vertikalen Verknüpfungen

Prinzip der Beziehungshaltigkeit, der Realitäts- und Lebensnähe

herausfordernde und anregende Kontexte

ideal: mehrere Herangehensweisen und Lösungswege (offene Aufgaben)

Stufentheorie nach Piaget

Entwicklung der menschlichen Intelligenz in Wechselwirkung mit der Umwelt erfolgt stufenweise

Intelligenz als Summe von Aktivitäten, mit deren Hilfe das Individuum mit der Umwelt erfolgreich in Wechselwirkung treten kann

Ziel: Herstellung eines immer besseren Gleichgewichts zwischen Mensch und Wirklichkeit

Stadien

Stadium der sensomotorischen Intelligenz (0 bis 1,5 bzw. 2 Jahre): Reflexe und Reiz-Reaktionskoppelungen, Spiel und Nachahmung, Objektexistenz an Beziehungsaufbau damit gebunden

präoperatives Stadium (1,5 bzw. 2 bis 7 Jahre): Ausbildung von Symbolen und Sprache für Objekte (mit Handlungen verknüpft!), Irreversibilität, erst symbolisch/vorbegrifflich und dann zunehmend anschaulich

Stadium der konkreten Operationen (7 Jahre bis 12 Jahre): simultane Erfassung verschiedener Merkmale eines Gegenstands, Vorausdenken und Steuern eigener Handlungen, Organisation von Operationen in Operationssystemen (reversibel, assoziativ, kompositionsfähig)

Stadium der formalen Operationen (ab 12 Jahre): Umgang mit abstrakten Inhalten möglich, hypothetisches Denken, systematisches Durchdenken von Fragestellungen, Erfassung von Situationen durch Sprache, analytisches und synthetisches Denken, zunehmende Unabhängigkeit von Erfahrungen mit konkretem Material

Übergang: jeweils Reorganisation der verfügbaren Schemata

Äquilibrationstheorie

Individuum wechselwirkt mit der Umwelt, richtet sich auf die Umwelt ein und versucht, sie in seinem Sinn zu verändern

Abbau bzw. Ausgleich von Spannungsgefällen, Herstellen von Gleichgewichtszuständen

innerliche Organisation

Sammeln von Erfahrungen aus der Wechselwirkung

Aufbau eines Bilds der Wirklichkeit, das ständig verfeinert wird

Akkommodation

Anpassung des Individuums an die Umwelt

Assimilation

Anpassung der Umwelt an das Individuum

Lernen = Erweiterung des Bildes der Wirklichkeit

kognitives Schema

flexibel organisiert

kohärent

adaptierbar

steuert Aktivitäten des Individuums

integriert in kognitive Gesamtorganisation

plastisch (<--> starr)

verallgemeinerungs- und diskriminationsfähig (= auf neue Objekt ausdehnbar oder aber einschränkbar)

ökonomisch (weitestmögliche Ausdehnung, möglichst wenig Diskrimination)

zusammensetzbar zu komplexeren Schemata

mit jedem neuen Stadium stabileres Gleichgewicht (größerer kognitiv erfasster Bereich / vermehrte Mobilität beim Durchlaufen des Bereichs / besseres Erkennen relevanter Daten / Etablierung immer mehr kognitiver Schemata)

Integrationsprinzip: Wechselwirkung mit Umwelt umso erfolgreicher, je vollständiger und mobiler seine Erkenntnisse in Beziehungsnetzen integriert und organisiert werden

Prinzip des Lernens in Zusammenhängen

Prinzip der integrierenden Wiederholung

dynamisches Prinzip: Instruktionen wirkungslos, sofern nicht durch eine aktive Konstruktion seitens der Lernenden ergänzt --> intensive Auseinandersetzung mit dem Gegenstand

Redundanzprinzip: Situationen, bei denen möglichst reichhaltige Ansatzpunkte für Anwendung bekannter Schemata vorliegen, aber doch einzelne Elemente oder Aspekte neu sind

Prinzip der Stabilisierung: Schema muss immer wieder in neuen, anregenden Kontexten geübt, angewendet und dabei generalisiert, diskriminiert, differenziert und mit anderen Schemata verbunden werden

Übungsaufgaben

Vertiefung und Erweiterung von Schemata

Förderung der Integration eines Schemas mit weiteren Schemata

einfache und prägnante Lösung bei verständnisvoller Anwendung des Schemas

Offenlegung oder Anbahnung von Beziehungen

innerhalb von interessanten Zusammenhängen

Prinzip der Stufengemäßheit

Prinzip der Deutlichkeit (Codierung von Informationen, rekonstruierbarer Sinn)

Präfigurationsprinzip: breite Entwicklung präsymbolischer und präverbaler Wurzeln von Begriffen und symbolischen Operationen

Prinzip der Förderung des "intermodalen Transfers"

Nachteile: höherer Zeitaufwand, Kontrollverlust und Benachteiligung leistungsschwächerer S:S