TEMAS subniveles algebra lineal
1..MATRIZ CONCEPTOS BASICOS Y TIPOS DE MATRICES
QUE ES UNA MATRIZ
Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal.
COMCEPTOS BASICOS
Elementos: son los números que conforman la matriz.
Dimensión: se trata del resultado del número de filas por el número de columnas. Se designa la m al número de filas y n al número de columnas.
Anillos: se trata de un término propio del álgebra y hace referencia al sistema formado por un conjunto de operaciones internas que responden a una serie de propiedades. Las matrices se entienden como elementos de un anillo.
Función: se trata de una regla de correspondencia entre dos conjuntos en el que un elemento del primer conjunto se corresponde, exclusivamente, con un solo elemento el segundo conjunto.
TIPOS DE MATRIZ
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Rectangular:
Fila
Columna
Nula
Cuadrada de orden n:
2.INVERSA DE MATRIZ
INVERSA DE UNA MATRIZ Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad. Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas (Anxn·A-1nxn=A-1nxn·Anxn=Inxn).
Se puede observar también que si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original
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Inversa por el método de Gauss. Este método consiste en (Ver fórmula de la inversa por Gauss):
Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.
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Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior. (Este paso y el anterior son intercambiables).
Calcular la matriz adjunta.
Calcular el determinante de la matriz. (Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa).
Inversa por determinantes. Este método consiste en (Ver fórmula de la inversa por determinantes):
3 SISTEMA DE ECUACIONES ✏
es un conjunto finito de ecuaciones para las que se buscan soluciones comunes. Un sistema de ecuaciones generalmente se clasifica de la misma manera que las ecuaciones : simples
Sistema de ecuaciones bilineales ,
Sistema de ecuaciones polinómicas
Sistema de ecuaciones no lineales
Sistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones lineales ,
4 METODOS DE IGUALACION Y SITUACION
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados
x+y = 7
5x -2y=-7
en primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaré por la «x» y despejo la misma en ambas ecuaciones.
x+y=7; x=7-y
5x-2y=-7; 5x=2y-7
5 METODO DE GAUSS-JORDAN SISTEMA DE ECUACION LINEALES HOMOGENEOS
El método consiste en aplicar operaciones elementales fila, es decir, cualquier fila se puede multiplicar por cualquier número (distinto de cero) o se le puede sumar o restar cualquier otra fila multiplicada o no por cualquier número. No se puede restar una fila a ella misma.
El proceso debe aplicarse hasta que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o en forma escalonada reducida (método Gauss-Jordan) de la matriz ampliada
QUE TIENEN QUE CUMPLIR
En cada fila, el primer elemento distinto de cero (de izquierda a derecha) es un 1 (uno principal). A la izquierda de este 1, sólo hay ceros. A su derecha puede haber cualquier número. En la columna del 1 principal de las filas de arriba y las de abajo sólo puede haber ceros (a no ser que sea la primera fila y por encima del 1 no hay ningún elemento).
El uno principal de cualquier fila se sitúa más a la izquierda de los unos principales de las filas inferiores a ésta.
Si existen filas formadas únicamente por ceros, éstas son las inferiores.
6 METODO MATEMATICO PARA EL SISTEMA DE ECUACION
Existen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, el de reducción y el de igualación. El objetivo de cualquiera de estos métodos es reducir el sistema a una ecuación de primer grado con una incógnita. La solución obtenida siempre será la misma, independientemente del método elegido.
Método de reducción
Con este método se trata de eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes en donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos
Método de igualación
En este método hay que despejar la incógnita x o y en las dos ecuaciones. Luego se igualan sus valores, obteniendo una ecuación lineal con una sola incógnita
Método de sustitución
Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación
X + Y= 6 X-Y=4
x + 2y = 25 2x + 3y = 40
2x - y = -1 3x +y = 11
7 VECTORES
Los vectores son segmentos de una línea recta que están orientados dentro de un plano bidimensional o tridimensional, también conocido como un espacio vectorial
CARACTERISTICAS
Sentido: viene representado por la punta de la flecha que se expresa gráficamente, indicando el lugar hacia el cual se dirige el vector.
Dirección: es la recta sobre la que se plantea el vector, la cual es continua e infinita en el espacio.
Módulo: se trata de la longitud entre el inicio y fin del vector,
Amplitud: es la expresión numérica de la longitud gráfica del vector.
Punto de aplicación: se refiere al lugar geométrico en el que inicia el vector a nivel gráfico.
Nombre: es la letra que acompaña al vector que se representa gráficamente, coincidiendo con la magnitud o con la suma del punto de aplicación y el fin de su valor.
TIPOS DE VECTORES
Vectores unitarios KJN
Vectores libres
Vectores deslizantes
Vectores fijos o ligados
Vectores concurrentes o angulares
Vectores paralelos
Vectores opuestos
8 APLICACION DE LOS VECTORES
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En matemáticas
Las materias en las que se hace un estudio y aplicación bastante a menudo de los vectores, son en el estudio del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, análisis matemático, cálculo, etc.
Programación e informática
Los vectores en programación pueden ser empleados como contenedores de datos, como arreglos que contienen un valor determinado que servirá para realizar o completar las instrucciones que ejecute un determinado programa
Los vectores en la vida cotidiana
También están en nuestro día a día abstractamente, por ejemplo nuestros movimientos pueden ser representados por vectores, pues tienen una dirección, un sentido y hasta una dimensión; de la misma forma los vehículos, o cualquier objeto que se mueve.
La fuerza de las actividades físicas puede ser representada y calculados mediante la operación y cálculo vectorial.