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SERIES Y SUSECIONES - Coggle Diagram
SERIES Y SUSECIONES
TIPOS DE SUCESIONES
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
La Sucesión Triangular se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla:
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición en la sucesión.
La regla es xn = n2
Números de Fibonacci
Ésta es la Sucesión de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos antes de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos antes de él (8+13)
etc...
La regla es xn = xn−1 + xn−2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Este tipo de reglas se conocen como fórmulas recursivas.
La sucesión de Fibonacci está numerada del 0 en adelante, de esta manera:
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
Ejemplo: el 6º término se calcularía así:
x6 = x6−1 + x6−2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series y sumas parciales
Ahora que ya conoces las sucesiones, el siguiente tema por aprender es cómo sumarlas. Lee nuestra página sobre Sumas Parciales.
Cuando sumamos solo una parte de la sucesión decimos que hacemos una suma parcial.
Pero una suma de una sucesión infinita se llama "serie" (parece como si fuera otro nombre para las sucesiones, pero en realidad es una suma). Lee Series Infinitas.
Ejemplo: Números impares
Sucesión: {1, 3, 5, 7, ...}
Serie: 1 + 3 + 5 + 7 + ...
Suma parcial de los primeros tres términos: 1 + 3 + 5
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto orden.
Sucesión 3,5,7,9,...
TIPOS DE SUCECIONES
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Como un conjunto
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero:
los términos están en orden (en los conjuntos el orden no importa).
el mismo valor puede aparecer muchas veces (en los conjuntos solo una vez).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.
El conjunto sería solo {0,1}
Finita o infinita
Ejemplos:
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos duplicando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
Notación
Las secuencias también usan la misma notación que los conjuntos:
se enumera cada elemento, separados por una coma,
y luego se ponen llaves alrededor de todo. {3, 5, 7, ...}
Los corchetes { } también se conocen como "llaves".
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
5 more items...
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Notación
xn es el término
n es la posición de ese término
Sucesiones especiales
En general, podemos escribir una sucesión aritmética de esta forma:
{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }
donde:
a es el primer término, y
d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")
Y podemos establecer la regla:
xn = a + d(n-1)
(Usamos "n-1" porque la d no se usa en el primer término).
Sucesiones geométrica
s
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por una constante.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
En general, podemos escribir una sucesión geométrica de esta forma:
{a, ar, ar2, ar3, ... }
donde:
a es el primer término, y
r es la proporción entre cada par de términos (llamada "razón común")
Nota: r no puede ser 0.
Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a,0,0,...}, la cual no es geométrica.
Y la regla es:
xn = ar(n-1)
(Usamos "n-1" porque ar0 es el 1er término)
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n−2
SERIES
SERIES NÚMERICAS
Introducción
Sea {an} una sucesión de números reales y formemos una nueva sucesión {sn}
de la forma:
S1=a1 S2=a1+a2 ... Sn=a1+a2+...an=∑n aK k=1
La sucesión así formada se llama serie y se representa .
El numero sn es la suma parcial n-ésima de la serie
El numero an es el término n-ésimo de la serie
Convergencia y suma de una serie
Se dice que la serie es convergente, divergente u oscilante según que la
sucesión de sumas parciales {s
n} sea convegente, divergente u oscilante
Convergencia
Sumemos los términos uno a la vez. Cuando la "suma hasta un cierto valor" se acerca a un valor finito, se dice que la serie es "convergente":
Nuestro primer ejemplo:
12 + 14 + 18 + 116 + ...
Va sumando así:
Término Suma hasta cierto valor
1/2 0.5
1/4 0.75
1/8 0.875
1/16 0.9375
1/32 0.96875
... ...
Las sumas se dirigen hacia un valor (1 en este caso), por lo que esta serie es convergente.
La "suma hasta cierto valor" se llama sumas parcial .
Entonces, más formalmente, decimos que es una serie convergente cuando:
"la secuencia de sumas parciales tiene un límite finito".
Divergencia
Si las sumas no convergen, se dice que la serie diverge.
Puede ir a +infinito, −infinito o simplemente subir y bajar sin establecer ningún valor.
Ejemplo:
1 + 2 + 3 + 4 + ...
Va sumando así:
Término Suma hasta cierto valor
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
... ...Las sumas se hacen cada vez más grandes, no se dirigen a ningún valor finito.
No converge, por lo que es divergente y se dirige al infinito.
Ejemplo: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ...
Sube y baja sin establecerse en algún valor, por lo que es divergente.
Series Aritméticas
Cuando la diferencia entre cada término y el siguiente es una constante, se llama una serie aritmética.
Series Geométricas
Cuando la razón entre cada término y el siguiente es una constante, se llama una serie geométrica.
Nuestro primer ejemplo de arriba es una serie geométrica:
(La razón entre cada término es ½)
Y, como se prometió, podemos mostrarte porqué esa serie es igual a 1 usando Álgebra:
Primero, a toda la suma le llamaremos "S": S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
A continuación, dividimos S entre 2: S/2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
Ahora restamos S/2 de S
Todos los términos de 1/4 en adelante se cancelan.
Y tenemos: S − S/2 = 1/2
Simplificamos: S/2 = 1/2
Finalmente: S = 1
Serie armónica
Ésta es la serie armónica:
Series alternantes
Una serie alternante tiene términos que alternan entre positivo y negativo.
Puede o no converger.
Ejemplo: 12 − 14 + 18 − 116 + ... = 13
