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Series y sucesiones - Coggle Diagram
Series y sucesiones
Sucesión
Es una lista de números tales que pueden encontrarse uno a uno a través de una regla. Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como término de la sucesión.
Una sucesión es una función de N en R.
f : N → R
Una sucesión genera una lista ilimitada de números:
f(1), f(2), f(3), . . . , f(n), . . .
Convergencia de sucesiones
Una sucesión {fn} es convergente si existe un número real L tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un número natural N(ε) tal que ∀n ≥ N se verifique |fn − L| < ε.
Teorema 1 (Unicidad del límite)
Sean a, b ∈ R tales que a = l´ımn→∞ fn, b = l´ımn→∞ fn. Supongamos que a 6= b, por ejemplo a < b. Elijase z tal que a < z < b. Puesto que z < b y b es l´ımite de fn, ha de existir un N0 tal que para todo n > N0 sea fn > z. I
Teorema 2
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente. (ii) Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente
Teorema 3 (Operaciones con sucesiones)
Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes con límites a = l´ımn→∞ an, b = l´ımn→∞ bn.
Teorema 4 (Teorema del sándwich para sucesiones)
Sean {an}, {bn}, y {cn} sucesiones de números reales. Si an ≤ bn ≤ cn para toda n mayor que algún índice N, y l´ımn→∞ an = l´ımn→∞ cn = L, entonces también l´ımn→∞ bn = L.
Teorema 5 (Regla de L’Hˆopital)
Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo de la forma (a − r, a + r), con a, r ∈ R, r > 0.
Series
Dada una sucesión de números reales {an}, se puede formar otra sucesión {sn} para la cual sn = a1 + a2 + · · · + an = Xn k=1ak La sucesión de las sumas parciales {sn} se llama serie infinita o simplemente serie. Para representar una serie se utiliza la notación P∞ n=1 an.
Convergencia y divergencia de series
Se dice que la serie P∞ n=1 an converge o es una serie convergente cuando la sucesión de sumas parciales {sn} tiene límite finito.
Adición o supresión de términos
En una serie, siempre podemos agregar o suprimir un número finito de términos sin alterar su convergencia o divergencia. En el caso de la convergencia, esto suele modificar la suma.
Propiedad telescópica
La serie P∞ n=1 an es telescópica cuando la representamos en la forma P∞ n=1(bn − bn+1), es decir cuando para una sucesión {bn} se cumple an = bn − bn+1.
Criterios de convergencia para
series de términos no negativos
Si los términos de la serie son no negativos, las sumas parciales también lo son. an ≥ 0, n = 1, 2, 3, . . . ⇒ sn ≥ 0, n = 1, 2, 3, . . .