(Ejemplos) Determinación de la ecuación de una hipérbola

Calcule la excentricidad de la hipérbola

y^2/2 - (x-1)^2/36 = 1

Se identifican a^2 = 2 y b^2 = 36, y con ello se obtiene c^2 = 2 + 36 = 38. Entonces, la excentricidad de la hipérbola indicada es

e= c/a = √38 / √2 = √19 = 4.4

El sistema de navegación LORAN , de largo alcance, localiza un
barco o un avión en la intersección de dos hipérbolas

La hipérbola tiene varias aplicaciones importantes en
técnicas de sondeo. En particular, varios sistemas de navegación usan hipérbolas,como se
describirá a continuación. Dos radiotransmisores fijos a distancia conocida entre sí transmiten señales sincronizadas.

d(P, B^2) - d(P, A^2) = 1 000.

se ve que ésta es la ecuación de la rama derecha de una hipérbola , con la diferencia de
distancias fijas 2a =1 000 y c =1 300. Entonces, la ecuación tiene la forma

x^2/ a^2 - y^2/b^2=1 , donde x>= 0

Dos observadores ubicados en los puntos A y B oyen el sonido de una explosión de dinamita en momentos distintos. Debido a que saben que la velocidad aproximada del sonido es
de 1 100 pies/s o 335 m/s, determinan que la explosión sucedió a 1 000metros más cerca
del punto A que del punto B. Si A y B están a 2 600 metros de distancia, demostrar que ellugar de la explosión está en la rama de una hipérbola . Encuentre una ecuación de esa
hipérbola .

Con a = 500 y , c =1 300, b^2= (1 300)^2-(500)^2=(1200)^2 se sustituye la ecuacion:

x=500√ 1+y^2/ (1200) ^2

En el universo, las órbitas de objetos pueden ser parabólicas, elípticas o hiperbólicas.
Cuando un objeto pasa cerca del Sol (o de un planeta) no necesariamente es capturado por el
campo gravitacional del objeto mayor.En ciertas condiciones, toma una cantidad fraccionaria de energía orbital de ese cuerpo mucho mayor, y el “efecto de onda ”.

Cuando B 5 0, obtenemos las formas estándares de las ecuaciones de los círculos, parábolas,
elipses e hipérbolas

Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

siempre es posible seleccionar el ángulo de rotación teta para que toda ecuación de la forma pueda transformarse en una ecuación en x' y y' sin término x'y':

A'(x')^2 + C'(y')^2 + D'(x') + E'y' + F' =0

las ecuaciones de las
secciones cónicas son casos especiales de la ecuación general de segundo grado

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Comenzamos con un sistema de coordenadas xy con origen O y giramos
los ejes x y y alrededor de O a lo largo de un ángulo teta, En la posición que ocupan después de la rotación, denotamos los ejes x y y con los símbolos
x' y y', respectivamente. De este modo, cualquier punto P en el plano tiene dos conjuntos de
coordenadas: (x, y) en términos del sistema original de coordenadas xy, y (x', y') en función
del sistema de coordenadas x'y'

x' = x cos teta + y sen teta

y' = 2x sen teta + y cos teta.

A la inversa, si resolvemos nos quedaria asi

x = x' cos teta - y' sen teta

y = 2x' sen teta + y' cos teta

Suponga que el eje x gira en un ángulo de 60°. Obtenga a) las coordenadas x9y9 del punto
cuyas coordenadas xy son (4, 4); b) las coordenadas xy del punto cuyas coordenadas x9y9
son (3, 25).

a) El punto (4, 4) se indica con el punto negro. Con teta = 60°,
x =4 y y = 4, las ecuaciones en (4) dan

x'= 4cos60° + 4sen 60° 5= 4(1/2) + 4( √3/2)=2+2-√3
y'= -4cos60° +4sen 60° 5= -4(1/2) + 4( √3/2)=2-2-√3

b) El punto (3, 25) se indica con el punto rojo en la figura Con teta = 60°, x' = 3 y
y' = 25

x'= 3cos60° + 5sen 60° = 3(1/2) + 5( √3/2)=3+5-√3/2

y'= 3cos60° + 5sen 60° = 3(1/2) - 5( √3/2)=3√3-5/2

La ecuación sencilla xy = 1 se puede escribir en términos de x' y y' sin el producto xy.
Cuando comparamos xy 1 nos damos cuenta de que A = 0, C = 0
y B = 1. Por tanto se muestra que cot 2teta = 0. Con teta= 45°, cos 45° = sen 45° = √2/2,

Aplicaciones de la elipse

La hipérbola

cot 2teta =5-1/3 = 4/3
sen teta = √ 1- cos(teta) / 2 = 1/10

cos teta = √ 1- cos(teta) / 2 = 3/10

Así, las ecuaciones se convierten
x=3 √ 10 x' - 1/ √10 y' = 1/√10(3x' - y')

y=3 √ 10 x' - 1/ √10 y' = 1/√10(y' -3x' )

La ecuacion se simplifica a x'^2/8 + y'^2/88= 1

Después de una rotación conveniente de ejes, identifique y trace la gráfica de
5x^2 + 3xy + y^2 = 44

Esta figura es frecuentemente astronomía un ejemplo son las órbitas de los planetas en torno al sol son elípticas y el sol es su foco

Definición: una elipse es el conjunto de puntos P(x,y) en un plano , tales que la suma de las distancias de P a dos puntos fijos F1 y F2 es constante , donde los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos, el punto medio del segmento recta que une a los puntos f1 y f2 se llama centro de la elipse.

Como se ve en la gráfica p es un punto en la elipse y d1= d(F1,P) y d2=d(f2,P) son las distancias de focos a P, entonces de acuerdo a esto la ecuación numero uno es

En esta ecuación donde K es mayor que cero es una constante , la ecuación nivel práctico nos sirve para trazar una elipse

Elipse con centro en (0,0) ahora deducimos la ecuación de la elipse donde por la comodidad algebraica k = 2a mayor que 0 e colocamos los focos del ejer c , en las coordenadas f1(-c,0) y f2(c,0) como se muestra en el gráficos

En el grafico se ve que los puntos F1,F2 Y P forman un triángulo . como la suma de longitudes de dos lados cualquiera de un triangulo es mayor a la longitud del otro, se debe cumplir que 2a mayor que 2c por lo tanto a es mayor que c .

Al elevarla al cuadrado por segunda vez obtenemos la ecuación 3

cuando se iguala b2=a2-c2, la ecuación numero tes se se transforma a la siguiente b2x2+a2y2=a2b2 donde se divide a2b2 y se obtiene la ecuación 4

Como el foco del dato está en el eje x, se puede deducir una ecuación en la forma normal (4). Así, c = 2, a = 5, a2 = 25 y b2 = a2 – c2, es decir, b2 = 52 – 22 = 21. La ecuación que se busca es

Cuando el centro está en 1h, k2, la forma normal de la ecuación de la elipsepuede ser

Las elipses definidas por estas ecuaciones tienen forma idéntica a las definidas por las ecuaciones (4) y (5), ya que las ecuaciones (6) y (7) representan transformaciones rígidas de las
gráficas de (4) y (5). Por ejemplo, la elipse

Tiene su centro en (1, -3). Su gráfica es la de x2 /9 + y2 /16 = 1, trasladada horizontalmente una unidad hacia la derecha, y después por una traslación vertical de tres unidades hacia abajo

Las elipses tienen una propiedad reflectora análoga, Se puede demostrar que si una fuente luminosa o sonora se coloca en un foco de una elipse, todos sus rayos u ondas se reflejarán en la superficie de la elipse y llegarán al otro foco

Por ejemplo, si se construye una mesa de pool en forma de una elipse con una buchaca en un foco, cualquier tiro que se origine en el otro foco nunca fallará en entrar a ella. De igual modo, si un techo es elíptico y sus dos focos están en 1o cerca del2 el piso, cualquier susurro en un foco se oirá en el otro

Usando su ley de la gravitación universal, Isaac Newton demostró por primera vez la primera ley de Kepler del movimiento planetario. La órbita de cada planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de sus focos.

La distancia de la Tierra al Sol en su perihelio (cuando más se acerca al Sol) es, aproximadamente, de 9.16 × 107 millas, y en su afelio (la máxima distancia de la Tierra al Sol) es de 9.46 × 107 millas, aproximadamente. ¿Cuál es la excentricidad de la órbita de la Tierra?

Supondremos que la órbita de la Tierra es como la que muestra la
En esa figura se ve que

La hipérbola es básicamente igual que la definición de la
elipse , y la única excepción es que la palabra suma se cambia a la palabra diferencia.

Una hipérbola consta de dos ramas. Si P es un punto de la hipérbola, entonces 0

Hipérbola con centro en (0, 0)

La ecuación (4) se llama forma normal de la ecuación de una hipérbola con centro en (0, 02) y focos en (-c, 0) (c, 0), y c se define por b2 = c2 - a2. Cuando los focos están en el eje y, una repetición de las operaciones algebraicas anteriores conduce a

La ecuación (5) es la forma normal de la ecuación de una hipérbola centrada en (0, 0) con focos en (0, -c) y (0, c). Aquí, de nuevo, c > a y b2 = c2 - a2. En el caso de la hipérbola, a diferencia de la elipse , téngase en cuenta, en (4) y (5), que no hay relación entre los tamaños relativos de a y b; más bien a2 siempre es el denominador del término positivo y las intersecciones con los ejes coordenados siempre tienen ;a como una coordenada.

Ejes transversal y conjugado

El segmento de recta con los extremos en la hipérbola, y que está en la línea que pasa por los focos, se llama eje transversal; sus extremos se llaman vértices de la hipérbola. En la hipérbola que se describe con la ecuación (4), el eje transversal está en el eje x. Por consiguiente, las coordenadas de los vértices son las de las intersecciones con el eje x

Asíntotas

Toda hipérbola posee un par de asíntotas oblicuas, que pasan por su centro. Esas asíntotas indican el comportamiento en los extremos, y como tales son una ayuda invaluable para trazar la gráfica de una hipérbola. Si de (4) se despeja a y en función de x se llega a