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Distribución Normal, Distribución Binomial y Distribución Poisson - Coggle…

- - - - Todos ellos tienen en común que se distribuyen “normalmente”. ¿Qué quiere decir esta expresión?. Pues, por ejemplo, si hacemos una estadística para conocer la altura de 1400 mujeres y representamos los resultados en un diagrama de barras, obtenemos:
        
        Distribución de estaturas de 1400 mujeres: las gráficas de este tipo son muy corrientes: Hay pocos individuos en los extremos y un aumento paulatino hasta llegar a la parte central del recorrido, donde está la mayoría
    - - Dependiendo de los valores que tomen x y σ, la gráfica de esta función puede ser más o menos alargada, achatada, etc..., pero en cualquier caso siempre tiene las mismas condiciones de simetría, continuidad, etc
        
        El concepto de función de densidad introducido anteriormente no se estudiará con profundidad. Baste decir que la función de densidad determina la forma de cada distribución de probabilidad. En el caso de la distribución normal de parámetros x y σ, dicha función viene dada por:
    - - -Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana (aproximadamente).
      - -La curva normal es asintótica al eje de las abscisas. Por ello, cualquier valor entre menos infinito e infinito es teóricamente posible. El área bajo la curva normal es igual a la unidad.
      - -La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre -∞ y +∞ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
      - -El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y desviación estándar. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de la desviación estándar, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.
- - - - Como caso realmente interesante cabe mencionar que la distribución de poisson fue utilizada para determinar si durante la segunda guerra mundial los alemanes al bombardear Londres desde Calais (Francia 🇫🇷) con los protomisiles V1 y V2 apuntaban o simplemente disparaban al azar. Era un hecho realmente importante determinar ese punto pues si los objetivos alcanzados con estos primitivos misiles eran los blancos que los alemanes habían seleccionado, implicaba que éstos disponían de una tecnología balística muy superior a la sospechada.
  - - - -P (x I λ) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ
      - -λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
      - -e es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores de e -λ pueden obtenerse de tablas.
      - -X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran)
      - -Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución.
        E(X) = λ
      - -La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también es igual a la media de la distribución λ. De este modo, la desviación estándar es la raíz cuadrada de
        λ. V(X) = λ
        σ = √λ
- - - - Donde:
        n = número de ensayos/experimentos
        x= número de éxitos
        p= probabilidad de éxito
        q= probabilidad de fracaso (1-p)
        
        Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:
  - - - n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
        x= número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
        p= probabilidad de éxito (0,8)
        q= probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
        
        Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
        
        El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4321 = 24 y en el denominador tendríamos 3211 = 6. Por lo tanto el resultado del factorial sería 24/6=4.
        Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
        Por tanto nuestro resultado final sería: 40,5120,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.