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linear algebra, Matrix, \(A^2 = A \) #, \(A^2 = E\) #, \(r(A) = 1且tr(A)…

- - - - \( A^{-1}的特征值由于A^{-1} = \frac{A^*}{|A|},故A^{-1}特征值为\frac{1}{\lambda_i}\)
  - - - \(|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n\)
      - \(tr(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots \lambda_n \)
    - - \(若A为方阵，则A的0特征值重复度 \geq n-r,非0特征值个数\leq rank(A) \)
        
        简单来讲就是还有未知个线性相关的特征值为0的特征向量，由于线性相关，所以不在n-k内。
        
        \(特征值为0的时候，(A-\lambda E)\xi=0的解相当于线性无关的特征向量，即n-r个A的0特征值的线性无关的特征向量，而对于一个特征值而言，可能存在线性相关的特征向量，而这些线性相关的特征向量也是占据了重复度的，所以对于A的n个线性无关的列向量而言，可能会解出线性相关的列向量从而使实际上总的特征值为0的重复度大于n-k\)
      - \(若A为实对称矩阵,则A的0特征值重复度 = n-r，非0特征值个数为rank(A)\) # :!:
  - - - :check:每个重复度都是对一个\(A中的列向量的取样，最多A中各个列向量都线性无关，即每个列向量代表一个维度，假设每个空间linear transformation后，所得到的都是原来的\lambda倍而不扭曲，最多也就k个维度\)
    - - :check:因为伸缩倍数不同，所以一定不可能是一个维度，\(\xi_1,\xi_2不是同一个维度，当然线性无关\)
    - - 空间上等比例伸缩
    - - 如果两个向量一个伸缩k倍，另一个伸缩k+n倍，则这两个向量组成的向量一定偏离原来的方向。（没有等比例伸缩） :check:
  - - - \( A^n*\alpha = \lambda^n*\alpha \)
      - \(f(A)\alpha = f(\lambda_0)\alpha\)
        
        \( (A+kE)*\alpha = (\lambda +k)*\alpha,\\ \lambda+k为A+KE的特征值 \) :!:
        
        通过这种方式只能算出来特征值的所有可能取值，而具体特征值对应的重数是未知的。
      - \((\lambda E -A)\xi =0\)
        
        \(\color\red{|\lambda E-A| = 0} \) :!:
        
        \( \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} &\cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} &\cdots &-a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ -a_{n1} &-a_{n2} & \cdots &\lambda-a_{nn} \end{vmatrix} = 0 \)
        
        特征多项式
      - 特征值的个数等于方程的阶数 :!:
  - - - \( \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 矩阵& A & A^T & kA & A^k &f(A) &A^{-1} &A^{*} &P^{-1}AP \\ \hline 特征值& \lambda & \lambda & k\lambda & \lambda^k &f(\lambda) &\lambda^{-1} &\frac{|A|}{\lambda} &\lambda \\ \hline 特征向量& \xi & 需重新计算 & \xi & \xi &\xi &\xi &\xi &P^{-1}\xi \\ \hline \end{array} \) #
- - - - \( A \sim \Lambda\)
        
        \(\Rightarrow\)
        
        \(若A有n个不同的特征值\) #
        
        \(\Longleftrightarrow\)
        
        \(\lambda 是A的k重特征值，则\lambda有k个线性无关的特征向量\)
        
        \(\color{red}{A有n个线性无关的特征向量}\)
        
        \(完整的表达了n个维度，即可表达n维空间中任一vector\)
      - \(P= \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{bmatrix}\\ \alpha为A线性无关的特征向量\)
      - \(\Lambda = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & 0\\0 & \lambda_2 & 0 \\0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} \)
      - \(当\beta不是A的特征向量\)
        
        \(A^n\cdot \beta= A^n\cdot(\color\red{k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots +k_n\xi_n})=k_1\lambda_1^n\xi_1+k_2\lambda_2^n\xi_2+\cdots +k_n \lambda_n^n\xi_n\)
- - - - \(如果A是一个未必对称的matrix，假设B = \frac{A+A^T}{2},那么B必对称，并且二次型x^T A x = x^T B x,即使A不对称，也一定可以找到一个对称matrix B来表示这个二次型\)
      - \(关于x^T A x = x^T A^T x\)
      - \(A的秩称为二次型的秩\)
  - - - \(若|C|可逆\)
        
        \(配方法\)
        
        含平方项
        
        \(\text{将某个变量的平方项及其有关的混合项合并在一起，配成一个完全平方项，如法炮制，直到配完。}\)
        
        不含平方项
        
        \(创造平方项，如含有x_1,x_2\)
        
        \(\begin{cases} x_1& = y_1+y_2\\x_2& = y_1-y_2 \end{cases}\)
        
        \(使x_1 x_2 = y_1^2 - y_2^2 \)
        
        \(关联信息\)
        
        \(任何二次型均可通过配方法(作可逆线性变换)化成标准形及规范形，用矩阵语言描述：\color\red{任何实对称矩阵A，必存在可逆矩阵C，使得C^TAC = \Lambda} \)
        
        \(\Lambda(标准形) = \begin{bmatrix}&d_1 & & & \\ & &d_2 & & \\ & & &\ddots & \\ & & & &d_n\end{bmatrix} 或 \Lambda(规范形) = \begin{bmatrix}&1 & & & & & & & & \\ & &\ddots & & & & & & &\\ & & &-1 & & & & & & &\\ & & & & &\ddots & & & & &\\ & & & & & &0 & & & &\\ & & & & & & &1 & & &\\ & & & & & & & &\ddots &\\ & & & & & & & & &1\\ \end{bmatrix} \)
        
        \(任何二次型矩阵A均\color\red{合同于}其标准形和规范形\)
        
        \(存在可逆C\)
        
        \(二次型的秩\) #
        
        正负惯性指数 #
        
        是否正定
      - \(若C为正交矩阵\)
        
        \(正交变换法\)
        
        \(反求参数\)
        
        \(利用|A|=0等要素求多项式系数a\)
        
        \(反求A(或f)\)
        
        \(利用正交求出其余特征向量，组成正交矩阵Q,再利用Q^T\Lambda Q求A\)
        
        \(最值问题\)
        
        \(n阶实对称矩阵A的特征值为\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)
        
        \(x^TAx在条件x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1\)
        
        \(对任意实的n维列向量x有\lambda_1x^Tx \leq x^TAx \leq \lambda_n x^Tx\)
        
        \(几何应用\)
        
        \(基本步骤\)
        
        \( ②求A的对应于特征值\lambda_1 ,\lambda_2,\cdots,\lambda_n的\color\red{特征向量\xi_1,\xi_2\cdots \xi_n}\)
        
        \(③将\xi_1，\xi_2，\cdots ，\xi_n正交化，单位化为\eta_1, \eta_2,\cdots , \eta_n\)
        
        \(令Q=[\eta_1, \eta_2,\cdots , \eta_n], 则Q为正交矩阵，且Q^-1 A Q =Q^T A Q = \Lambda。\\于是f=x^T Ax \stackrel{x=Qy}\Longrightarrow (Qy)^T A(Qy) = y^TQ^TAQy=y^T \Lambda y\)
        
        \(注意：x= Qy \rightarrow x^Tx = (Qy)^TQy = y^T(Q^TQ)y =y^Ty\)
        
        \( ①求A的特征值\lambda_1 ,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) #
  - - - \(平方项系数仅为1，0，或-1\)
        
        规范形
        
        \(x_1^2\pm x_2^2\pm \cdots \pm x_n^2\)
      - \(a_1\cdot x_1^2+a_2\cdot x_2^2+\cdots +a_nx_n^2\)
  - - - 为正的特征值个数
      - 规范形/标准形正项的个数
  - - - \(②已知A,B，求C，使得C^TAC=B\)
      - ③A合同于B，B合同于C，则A合同于C
      - \(①A,B合同\Longleftrightarrow 存在C^{-1}，使C^TAC = B\Longleftrightarrow \color\red{p_A=p_B，q_A = q_B}\)
      - \(④rank(A) = rank(B)\)
  - - - \(A = A^T\)
    - - \(①对任意x \neq 0 ，有x^TAx \geq 0 (定义) \)
      - \(②A的特征值\lambda_i >0 (i=1,2,\cdots,n)\)
      - ③f的正惯性指数p = n
      - \(④存在可逆矩阵D，使A=D^TD\)
      - \(⑤A与E合同\)
      - \(⑥A的全部\color\red{顺序主子式}均大于0\)
    - - \(①a_{ii} > 0 (i = 1,2,\cdot n )\)
      - \(②|A| > 0 \)
    - - \(若A正定，则kA，A^{-1}，A^*，A^m，C^TAC正定(k \geq 0, m为正整数，|C| \neq 0)\)
      - \(若A,B正定，则A+B正定，\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}正定\)
      - 若A,B正定且AB = BA，则AB正定
      - 若A正定且是正交矩阵，则A=E
- - - - \(det(A*A^{-1} )=det(A)*det(A^{-1})=det(E)=1 \)
      - \(|A^{-1} |= \frac{1}{|A| }\)
    - - \( \begin{vmatrix} 1 & 1 &\cdots &1 \\ X_1 & X_2 &\cdots &X_n \\ (X_1)^2 & (X_2)^2 &\cdots &(X_n)^2\\ \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ (X_1)^{n-1} & (X_2)^{n-1} &\cdots &(X_n)^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\leq j < i \leq n }(x_i -x_j) \)
    - - 副对角线
        
        \( |A| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2} }a_{1,n}a_{2,n-1} \cdots a_{n,1} \)
      - 主对角线
        
        \( |A| = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdots a_{nn} \)
    - - \( \begin{vmatrix} \color{red}0 & A \\ B & C \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} C & A \\ B & \color{red}0 \end{vmatrix} = (-1)^{m\cdot n}\cdot |A|\cdot |B|\\ \small{m,n为A,B的dim} \)
      - \( \begin{vmatrix} A & * \\ \color{red}0 & B \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A & \color{red}0 \\ * & B \end{vmatrix} = |A|\cdot |B| \)
    - - \( A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} ，M_{ij}\text{是余子式}\)
      - \( 行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的{\bf \color\red{代数余子式}}乘积之和为0 \)
  - - - \( A = \begin{bmatrix}B & 0\\D & C\end{bmatrix}, A^{-1} = \begin{bmatrix}B^{-1} & 0\\-C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} \end{bmatrix} \)
        
        \(A = \begin{bmatrix}B & D\\0 & C\end{bmatrix}, A^{-1} = \begin{bmatrix}B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1}\\0 & C^{-1} \end{bmatrix}\)
        
        \(A = \begin{bmatrix}0 & B\\C & D\end{bmatrix}, A^{-1} = \begin{bmatrix} -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1}\\ B^{-1} & 0 \end{bmatrix} \)
        
        \(A = \begin{bmatrix}D & B\\C & 0\end{bmatrix}, A^{-1} = \begin{bmatrix}0 & C^{-1}\\B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1} \end{bmatrix}\)
        
        \( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \)
        
        \( (A^{-1})^{-1} = A \)
  - - - \(\lambda_A = \lambda_B \)
        
        \(trace(A) = trace(B)\) #
        
        \(|A| = |B|\) #
    - - \( A^{-1} \sim B^{-1}\)
      - \(A^{*} \sim B^{*}\)
    - - \(A \sim B, B\sim \Lambda \Rightarrow A \sim \Lambda\)
        
        \(当A无法直接证明可相似对角化时，可间接通过B证相似对角化\)
      - \(A \sim \Lambda, B \sim \Lambda \Rightarrow A \sim B\)
      - \(A \sim C,B \sim D\)
        
        \(\begin{bmatrix} A &0 \\ 0 &B \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix} C &0 \\ 0 &D \\ \end{bmatrix} \)
- - - - \(Rank = 1\)
        
        \(A^n = (\alpha\cdot\beta^T)\cdot(\alpha\cdot\beta^T)\cdots(\alpha\cdot\beta^T)=\alpha\cdot(\beta^T\cdot\alpha)\cdot(\beta^T\cdot\alpha)\cdots\cdot(\beta^T\cdot\alpha)\beta^T= (\sum_{i=1}^n a_i\cdot b_i)^{n-1}\cdot A = [tr(A)]^{n-1}\cdot A \)
  - - - \( A^n = (B+C)^n = B^n + nB^{n-1}C + \frac{n(n-1)}{2!}B^{n-2}C^{2} + \cdots C^n \)
        
        \(C_n^{0}+C_n^1+\cdots+C_n^r+\cdots +C_n^n = 2^n\)
      - \(若B=E, 则A^n=E+nC+\frac{ n(n-1)}{ 2! }C^2+\cdots +C^n \)
      - \( 若BC=CB=0, 则A^n = B^n+C^n \)
- - - - \(n \)
    - - \(1 \)
    - - \(0 \)
  - - - \(r(A)+r(A-E) = n\)
    - - \(r(A+E)+r(A-E) = n\)
- - - - 为数量积，即点乘
- - - - 一次初等变换
        
        初等矩阵
      - 有限次初等变换
        
        等价矩阵
        
        由于Q不一定是P的逆矩阵，所以等价矩阵不一定相似，而相似矩阵一定等价
        
        \(\Longleftrightarrow\)
        
        秩相同
- - - - \(Q^TAQ \sim \Lambda,\\P^{-1}AP\sim \Lambda\)