Movimento harmônico simples
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento periódico que acontece exclusivamente em sistemas conservativos – aqueles em que não há ação de forças dissipativas.
Todo MHS acontece quando uma força impele um corpo em movimento a voltar para uma posição de equilíbrio. Alguns exemplos de MHS são o pêndulo simples e o oscilador massa-mola. Em movimento harmônico simples, a energia mecânica do corpo é sempre mantida constante, mas suas energia cinética e potencial intercambiam-se: quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é mínima e vice-versa.
Grandezas do MHS
Amplitude (A)
Frequência (f)
Período (T)
Frequência angular (ω)
Mede a maior distância que o corpo em oscilação é capaz de chegar em relação à posição de equilíbrio. A unidade de medida da amplitude é o metro (m).
Mede a quantidade de oscilações que o corpo realiza a cada segundo. A unidade de medida da frequência é o hertz (Hz)
Mede a rapidez em que o ângulo de fase é percorrido. O ângulo de fase corresponde à posição do corpo em oscilação. Ao final de uma oscilação, o corpo terá varrido um ângulo de 360º ou 2π radianos.
Tempo necessário para que o corpo realize uma oscilação completa. A unidade de medida do período é o segundo (s)
Equações do MHS
Equação da posição no MHS
Esta equação é usada para calcular a posição do corpo que desenvolve um movimento harmônico simples:
X (t) = Acos + (ωt + φ)
x(t) – posição em função do tempo (m)
A – amplitude (m)
ω – frequência angular ou velocidade angular (rad/s)
t – tempo (s)
φ0 – fase inicial (rad)
Equação da velocidade no MHS
A equação da velocidade do MHS deriva da equação horária da posição e é dada pela expressão a seguir:
V (t) = -ω.A.sen (θo + ω.t)
Equação da aceleração no MHS
A equação da aceleração é bastante parecida com a equação da posição:
A (t) = -ω2.A.cos(θo + ω.t)
OU
α = -ω2 .x
Além das equações mostradas ao lado, que são gerais, existem algumas equações específicas, utilizadas para calcular a frequência ou o período dos osciladores massa-mola e também do pêndulo simples. A seguir, cada uma dessas fórmulas.
Oscilador massa-mola
No oscilador massa-mola, um corpo de massa m é preso a uma mola ideal de constante elástica k. Quando retirado da posição de equilíbrio, a força elástica exercida pela mola faz com que o corpo passe a oscilar em torno dessa posição. A frequência e o período de oscilação podem ser calculados por meio das fórmulas a seguir:
Fase inicial (θo): é a medida da fase em que o movimento do oscilador harmônico encontra-se no instante de tempo inicial.
F = 1/2π √K/m
T = 2π √m/k
k – constante elástica da mola (N/m)
m – massa do corpo
Analisando a fórmula abaixo, é possível notar que a frequência de oscilação é proporcional à constante elástica da mola, ou seja, quanto mais “dura” for a mola, mais rápido será o movimento de oscilação do sistema massa-mola.
Pêndulo simples
O pêndulo simples consiste em um corpo de massa m, preso a um fio ideal e inextensível, colocado para oscilar em ângulos pequenos, na presença de um campo gravitacional. As fórmulas utilizadas para calcular a frequência e o período desse movimento são as seguintes:
F = 1/2π √g/L
T = 2π √L/g
g – aceleração da gravidade (m/s²)
L – comprimento do fio (m)
A partir das equações acima, percebe-se que o período do movimento de um pêndulo depende apenas do módulo da gravidade local e também do comprimento desse pêndulo.
Energia mecânica no MHS
O movimento harmônico simples só é possível graças à conservação da energia mecânica. A energia mecânica é a medida da soma da energia cinética e da energia potencial de um corpo. No MHS, a todo momento, tem-se a mesma energia mecânica, entretanto, ela se expressa periodicamente na forma de energia cinética e energia potencial.
EM = EC + EP
EMi = EMf → ECi + EPi = ECf + EPf
EM – energia mecânica (J)
EC – energia cinética (J)
EP – energia potencial (J)
A fórmula mostrada acima expressa o sentido matemático da conservação da energia mecânica. Em um MHS, em quaisquer instantes, final e inicial, por exemplo, a soma das energias cinética e potencial é equivalente. Esse princípio pode ser visualizado no caso do pêndulo simples, que apresenta energia potencial gravitacional máxima, quando o corpo se encontra nas posições extremas, e energia cinética máxima, quando o corpo se encontra no ponto mais baixo da oscilação.