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#9 Arithmétique, \( \textit{Si a, b premiers entre eux} \\ (a \vee b) =…
\( \textbf{Lien entre diviseurs et multiples} \\ (\mathscr D(b) \subset \mathscr D(a)) \iff(b|a) \iff(a\mathbb Z \subset b\mathbb Z) \)
\( \textbf{Division euclidienne} \\ \text{Avec $a \in \mathbb Z$ et $b \in \mathbb N$, il existe un unique $(q, r) \in (\mathbb Z \times [\![0;b[\![)$ tq} \\ a = bq + r \)
\( \textit{Caractérisation de la divisibilité par la DE} \\ \text{$b$ divise $a \iff$ le reste de la DE de $a$ par $b$ est nul} \)
\( \textbf{Idéaux de $\mathbb Z$} \\ \text{$\mathbb Z$ est principal} \\ \text{Ses idéaux sont exactement les $n\mathbb Z, n \in \mathbb N$} \)
\( \textbf{Plus Grand Commun Diviseur} \\ \begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \text{max$(\mathscr D(a) \cap \mathscr D(b))$ si $(a, b) \neq (0, 0)$}
\\
\text{(ii)} & 0 \text{ sinon}
\
\end{array} \)
\( \textbf{Lemme d'antyphérèse} \\ \mathscr D(a) \cap \mathscr D(b) = \mathscr D(b) \cap \mathscr D(r) \)
-
\( \textbf{Ensemble de diviseurs communs} \\ \mathscr D(a) \cap \mathscr D(b) = \mathscr D(a \wedge b) \quad \scriptsize \text{démo par antyphérèse}\)
\(
\textbf{Caractérisation du pgcd par la définition du max d'un ensemble}
\\
\text{!! Cela signifie que $a \wedge b$ est le plus grand (au sens divisibilité) élément de l'ensemble $\mathscr D(a) \cap \mathscr D(b)$ des diviseurs communs à $a$ et $b$. !!} \\
\text{Donc en revenant à la définition première du plus grand élément, on peut montrer qu'un candidat $\delta$ est pgcd de $a$ et $b$ en montrant :}
\\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \delta \text{ divise $a$ et divise $b$ (i.e. $\delta \in \mathscr D(a) \cap \mathscr D(b)$)}
\\
\text{(ii)} & \forall d \in \mathscr D(a) \cap \mathscr D(b), \quad d \text{ divise } \delta
\
\end{array}
\)
\( \textbf{Coefficients de Bézout} \\ \scriptsize \textit{Ils découlent de la principalité de $\mathbb Z$ !} \\ \begin{array}{rl} \text{Il existe } (u, v) \in \mathbb Z^2, & au + bv &= &a \wedge b \\ \text{Autrement dit } & a\mathbb Z + b\mathbb Z &= &(a \wedge b)\mathbb Z \end{array} \\ \scriptsize \textbf{ !! réfléchir au « autrement dit » et le maîtriser !!} \)
-
-
-
\(
\textbf{Pour plusieurs entiers} \\ \begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \mathscr D(a_1) \cap \dots \cap \mathscr D(a_n) = \mathscr D(a_1 \wedge \dots \wedge a_n) \quad \text{ i.e. } \quad \text{un entier $d$ divise $a_1, \dots, a_n \iff d$ divise $a_1 \wedge \dots \wedge a_n$}
\\
\text{(ii)} & \text{Comme le pgcd est associatif, on peut toujours réduire les calculs à une suite de calculs de pgcd de deux entiers seulement.} \\ &\text{! Donc toutes les propriétés (Bézout, entiers premiers entre eux...) restent valables !}
\
\end{array}
\)
\( \textbf{Plus petit multiple commun} \\ \begin{array}{rl} \text{(i)} & \text{min}(a\mathbb Z \cap b\mathbb Z) \text{ si $ab \neq 0$} \\ \text{(ii)} & 0 \text{ sinon} \end{array} \)
-
-
\(
\textbf{Pour plusieurs entiers} \\ \begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & a_1\mathbb Z \cap \dots \cap a_n \mathbb Z = (a_1 \vee \dots \vee a_n)\mathbb Z \quad \text{ i.e. } \quad \text{un entier $m$ est multiple de $a_1, \dots, a_n \iff m$ est multiple de $a_1 \vee \dots \vee a_n$}
\\
\text{(ii)} & \text{Comme le ppcm est associatif, on peut toujours réduire les calculs à une suite de calculs de ppcm de deux entiers seulement.} \\ &\text{! Donc toutes les propriétés restent valables !}
\
\end{array}
\)
\( \textbf{Nombres premiers} \\ \mathbb P = \{ n \in \mathbb N : n \text{ est divisible par deux nombres exactement (1 et lui-même)} \} \)
\( \textbf{Caractérisation des nombres premiers : équivalence entre} \\ \begin{array}{rl} \text{(i)} & p \text{ est un nombre premier} \\ \text{(ii)} & p \text{ est premier avec tout entier qu'il ne divise pas} \\ \text{(iii)} & p \text{ est premier avec tout nombre premier contenu dans } [1, \sqrt p] \end{array} \)
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\( \textbf{Décomposition primaire} \\ \text{Tout entier naturel $n \geq 2$ admet une décomposition en facteurs premiers, unique à l'ordre près} \)
\( \text{Si $p \in \mathbb P$ et $p | ab$, alors $p$ divise $a$ ou $b$} \)
\(
\textbf{Valuation p-adique} \\ \begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & n = \pm \prod_{p \in \mathbb P} p^{v_p(n)}
\\
\text{(ii)} & v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b) \quad \text{et} \quad v_p(\frac{a}{d}) = v_p(a) - v_p(d)
\\
\text{(iii)} & b | a \iff v_p(b) \leqslant v_p(a) \text{ pour tout $p \in \mathbb P$}
\\
\text{(iv)} & a \wedge b = \prod_{p \in \mathbb P} p^{\text{min{$v_p(a),v_p(b)$}}} \quad \text{et} \quad a \vee b = \prod_{p \in \mathbb P} p^{\text{max{$v_p(a),v_p(b)$}}}
\
\end{array}
\)
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\( \textit{Si a, b premiers entre eux} \\ (a \vee b) = |ab| \)
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