Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
#8 Structures algébriques - Coggle Diagram
-
(clean)
-
\( \textbf{(Homo)morphisme de groupe :} \\ \forall g_1, g_2 \in G, \quad \varphi (g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \star \varphi(g_2) \)
\( \textit{Avec $\varphi$ un morphisme de groupe } \\ \begin{array}{rl} \text{(i)} & \varphi(e) = e' \\ \text{(ii)} & \forall g \in G, \varphi(g^{-1}) = (\varphi(g))^{-1} \end{array} \)
\( \textbf{Image morphique d'un sous-groupe} \\ \begin{array}{rl}
\text{(i)} & \text{Si $H < G$, alors $\varphi(H) < G'$} \\
\text{(ii)} & \text{Si $H' < G'$, alors $\varphi(H') < G$}
\end{array}\)
\( \textbf{Noyau et image} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{Noyau} & \text{Ker }\varphi = \varphi^{-1}(\{e'\}) = \{ g \in G : \varphi(g) = e' \}
\\
\text{Image} & \text{Im }\varphi = \varphi(G) = \{ g' \in G' : \exists g \in G, \text{ }g' = \varphi(g) \} = \{ \varphi(g) : g \in G \}
\
\end{array}\)
\( \textbf{Caractérisation de la jectivité } \color{lime}{\textbf{d'un morphisme}} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \varphi \text{ est injectif si, et seulement si, Ker }\varphi = \{e\}
\\
\text{(ii)} & \varphi \text{ est surjectifsi, et seulement si, Im }\varphi = G'
\
\end{array} \)
\( \text{On parle d'}\textbf{endomorphisme}\text{ ($E \rightarrow E$),} \\ \text{d'}\textbf{isomorphisme}\text{ (bijection),} \\ \text{et d'}\textbf{automorphisme}\text{ (endo + auto).} \)
-
\( \text{Un anneau est dit $\textbf{intègre}$ s'il ne possède pas de $\textbf{diviseur de zéro}$, i.e. } \\ \forall a, b \in A, \quad \quad (ab = 0_A) \Rightarrow (a = 0_A \text{ ou } b = 0_A) \\ - \\ \text{Les éléments $\textit{non nuls}$ qui ne sont pas diviseurs de zéro sont dits $\textbf{simplifiables}$.} \)
-
\( \textbf{Idéal $I$ d'un anneau $\color{lime}{\textbf{commutatif }} A$} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & (I, +) \text{ est un sous-groupe de } (A, +)
\\
\text{(ii)} & \forall i \in I, \quad \forall a \in A, \quad ia \in I
\
\end{array} \\
\scriptsize\text{sous-groupe additif hyperstable d'un anneau commutatif}
\)
\( \text{Si $I$ contient un inversible, alors $I = A$} \)
\( \textbf{Idéal engendré (somme d'idéaux)} \\ I + I' \text{ est le plus petit idéal de A contenant $I$ et $I'$ } \)
\( \textbf{Idéaux principaux (engendré par $b \in A$)} \\ \text{Un idéal de la forme $bA$ est dit principal.} \\ \scriptsize \text{Si tous les idéaux d'un anneau sont principaux, $\textbf{l'anneau est dit principal}$} \)
\( \text{Ne pas confondre itérés additifs et multiples !} \\ \text{Le $n^\text e$ itéré de $a$ est la somme, $n$ fois, de $a$} \\ \text{Un multiple concerne deux éléments d'un même anneau} \)
-
\(
\textbf{Morphisme d'anneau} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \varphi(1_A) = 1_{A'}
\\
\text{(ii)} & \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)
\\
\text{(iii)} & \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)
\
\end{array}
\)
\(
\textit{Avec $\varphi$ un morphisme d'anneau } \\ \begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \varphi(0_A) = \varphi(0_{A'})
\\
\text{(ii)} & \varphi(-a) = -\varphi(a)
\\
\text{(iii)} & \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1} \tiny \text{si $a$ inversible dans A, ce qui donne $\varphi(a)$ inv. dans $A'$}
\
\end{array}
\)
\( \textbf{Image morphique d'un anneau} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \text{Si $B$ sous-anneau de $A$, alors $\varphi(B)$ sous-anneau de $A'$}
\\
\text{(ii)} & \text{Si $B'$ sous-anneau de $A'$, alors $\varphi^{-1}(B')$ sous-anneau de $A$}
\
\end{array}
\)
\( \textbf{Image morphique d'un idéal d'un anneau commutatif} \\
\begin{array}{rl}
\
\text{(i)} & \text{Si $I$ idéal de $A$, alors $\varphi(I)$ idéal de $\varphi(A)$} \quad \scriptsize\textbf{mais pas de $A'$ !}
\\
\text{(ii)} & \text{Si $I'$ idéal de $A'$, alors $\varphi^{-1}(I')$ idéal de $A$}
\
\end{array}
\)
-
-
-
\( \textbf{Morphisme de corps} \\ \text{Morphisme d'anneau entre deux anneaux qui sont des corps} \)
-