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1.3. Historia del álgebra lineal - Coggle Diagram
1.3. Historia del álgebra lineal
1.3.1. Sistemas sin solución
o con infinidad de soluciones
El método de eliminación de variables para buscar la solución de un sistema se conoce actualmente como el sistema de eliminación de Gauss.
Se puede encontrar la solución fácilmente cuando el numero de ecuaciones y de variables es pequeño.
Los sistemas de ecuaciones lineales, algunos:
No tienen solución.
Tienen una solución única.
Tienen una infinidad de soluciones.
1.3.2. Ejemplos de
espacios vectoriales
1.3.3. El espacio
ℝ𝒏
Un espacio vectorial es un conjunto de elementos sobre el que hay definida una operación suma (de dichos elementos) y una operación producto de un numero por uno de dichos elementos.
Podemos considerar arreglos de 𝑛 números reales (𝑎1, 𝑎2,…, 𝑎n) los cuales se les conoce como n-tuplos.
Al conjunto de todos estos arreglos lo llamamos ℝ#.
El plano es entonces ℝ" y el espacio es ℝ$.
1.3.4. Matrices
Las matrices son arreglos rectangulares de números reales en lugar de ser arreglos lineales como los elementos de ℝ#.
En general si la matriz tiene 𝑚 renglones y 𝑛 columnas, decimos que la matriz es una matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 y a la componente en el renglón 𝑖 y la columna 𝑗 la denotamos 𝑎 i j .
La verificación de que el conjunto de matrices ℳ(𝑚, 𝑛), satisface las mismas propiedades con la suma de matrices y multiplicación escalar por un número real es esencialmente idéntica a la de ℝ# con la suma de arreglos lineales y multiplicación escalar por un número real y se deriva de las propiedades de los números reales.
1.3.5. Espacios de funciones
El conjunto de funciones de los reales a los reales, 𝑓:ℝ → ℝ, denotado por ℱ(ℝ)
Dos funciones 𝑓, 𝑔 son iguales si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ.
Propiedades
1.
(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
2.
𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓
3.
𝑓 + 𝟎 = 𝑓
4.
𝑓 + (−𝑓) = 𝟎
5.
𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔 y (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓
6.
(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓)
7.
1 ∙ 𝑓 = 𝑓.
1.3.6. El espacio de funciones 𝑭(𝑽,𝑾) entre dos espacios vectoriales 𝑽 y 𝑾
Dos funciones 𝑓, 𝑔 son iguales si 𝑓(𝑣) = 𝑔(𝑣) para todo vector 𝑣 ∈ 𝑉.
Definimos la suma de 𝑓 y 𝑔 como la función 𝑓 + 𝑔: 𝑉 → 𝑊 definida como: (𝑓 + 𝑔)(𝑣) = 𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣).
Definimos la multiplicación escalar de un número real 𝑟 con 𝑓 como la función 𝑟 ∙ 𝑓: 𝑉 → 𝑊 definida como: (𝑟 ∙ 𝑓)(𝑣) = 𝑟 ∙ 𝑓(𝑣).
Propiedades
1.
(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
2.
𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓
3.
𝑓 + 𝟎 = 𝑓
4.
𝑓 + (−𝑓) = 𝟎
5.
𝑟 ∙ (𝑓 + 𝑔) = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑟 ∙ 𝑔 y (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ 𝑓 + 𝑠 ∙ 𝑓
6.
(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑓 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑓)
7.
1 ∙ 𝑓 = 𝑓.
1.3.7. Espacio de polinomios con coeficientes reales
Podemos ahora definir que dos polinomios 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) son iguales si todos los coeficientes de las potencias de 𝑥 correspondientes son iguales.
La verificación de que el conjunto de polinomios satisface las mismas propiedades con la suma de estos y multiplicación escalar por un número real es esencialmente igual que la de ℝ# con la suma de arreglos lineales y multiplicación escalar por un número real y se deriva de las propiedades de los números reales.
Propiedades
1.
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥))
2.
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 𝑝(𝑥)
3.
𝑝(𝑥) + 𝟎(𝑥) = 𝑝(𝑥)
4.
𝑝(𝑥) + (−𝑝(𝑥)) = 𝟎
5.
𝑟 ∙ 8𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)9 = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑟 ∙ 𝑞(𝑥) y (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ 𝑝(𝑥) + 𝑠 ∙ 𝑝(𝑥)
6.
(𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝑝(𝑥))
1 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥).
1.3.8. Definición de espacio vectorial
Una operación entre sus elementos, llamada suma y denotada por +, que asocia a cada par de
elementos 𝒙, 𝒚 un tercer elemento de 𝑉, denotado por 𝒙 + 𝒚.
Una operación, llamada multiplicación escalar que asocia a cada número real 𝑟 y a cada
elemento 𝒙 de 𝑉, un elemento de 𝑉 denotado por 𝑟 ∙ 𝒙.
Un espacio vectorial 𝑉 sobre ℝ consiste de un conjunto y:
Propiedades Suma
1.
Asociativa: (𝒙 + 𝒚) + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)
2.
Conmutativa: 𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙
3.
El 𝟎 en 𝑉 es el neutro aditivo: 𝒙 + 𝟎 = 𝒙
4.
Todo elemento 𝒙 en 𝑉 tiene inverso aditivo −𝒙: 𝒙 + (−𝒙) = 𝟎
Propiedades Multiplicación
5.
Distributiva: 𝑟 ∙ (𝒙 + 𝒚) = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑟 ∙ 𝒚 y (𝑟 + 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ 𝒙 + 𝑠 ∙ 𝒙
Asociativa: (𝑟 ∙ 𝑠) ∙ 𝒙 = 𝑟 ∙ (𝑠 ∙ 𝒙)
7.
El 1 en R es el neutro multiplicativo: 1 ∙ 𝒙 = 𝒙.
El álgebra lineal es la rama de las
matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y, en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Esta área de estudio se relaciona con muchas ramas dentro y fuera de las matemáticas, tales como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
El hombre empezó a preguntarse sobre diversos aspectos de la vida cotidiana, así como reconocer fenómenos periódicos de la
naturaleza.
Como resultado de este proceso, ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta
Grandes acontecimientos del álgebra lineal:
:pencil2: 1650: a.C., Ahmes escribió papiro de Rhind.
:pencil2: 2100 a. C., Babilonios: sabían como resolver problemas mediante ecuaciones de 1er y 2do grado, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
:pencil2: Siglo III y IV, China postula primeros métodos de pensamiento lineal.
:pencil2: 1843 sir William Hamilton descubre los cuaterniones.
:pencil2: 1863 Arthur Cayley, Herman Gunthes nociones de vector y espacio vectorial.
:pencil2: 1850 James Joseph Sylvesta intruduce el termino de Matriz.
