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Relación entre conjuntos :silhouettes:, ) - Coggle Diagram
Relación entre conjuntos
:silhouettes:
¿En qué consisten las relaciones entre conjuntos?
Las relaciones de conjuntos sucede cuando existen ciertos conjuntos que tiene algo en común y que cumplen una propiedad específica en común o como también puede ser por el número de elementos que pueden tener los conjuntos que queremos comprar. La relación de conjuntos no es mas que una comparación entre conjuntos según las cualidades que le asignemos, si es que existen.
Tipos de relación
Reflexiva
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es reflexiva si:
∀x,(x ∈ A →(x,x) ∈ R)
Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener al Menos n Flechas (Suponiendo que n es el número de elementos de A): deben estar todas las parejas (a,a) donde a barre todos los elementos de A.
Ejemplo
Simétrica
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es simétrica si:
∀x,y,((x,y) ∈ R → (y,x) ∈ R)
Que no nos engañe la implicación: no dice que
tengamos flechas de x a y para todo x & y: Dice
que en caso de haber una flecha de x a y debemos
de tener una de y a x en las relaciones simétricas.
Ejemplo
Antisimétrica
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es Antisimétrica si:
∀x,y,((x,y) ∈ R ∧ (y,x) ∈ R → x = y).
Cuando están las parejas (x,y) y (y,x) en la
relación, es porque las parejas son (x,x).
Ejemplo
Transitiva
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es Transitiva si:
∀x,y,z,((x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R → (x,z) ∈ R) .
Ejemplo
Equivalencia
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es una relación de Equivalencia si R es Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Ejemplo
Cerradura transitiva
Sean A un conjunto y R una relación.
La cerradura transitiva de R es una relación R' que cumple:
-R' es Transitiva,
-R ⊆ R' (R' contiene a R), y
-Cualquier otra relación transitiva que contiene a
R también contiene a R'.
Es decir, la cerradura transitiva de una relación R es la más pequeña
relación transitiva que contiene
a R.
Ejemplo
Orden parcial
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que:
R es una relación de orden parcial si R es Reflexiva, Antisimétrica y Transitiva.
Ejemplo
Partición de un conjunto
Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A es una colección de subconjuntos de A, A1, A2,...,Am Tal que:
-Ningún subconjunto Ai es vacío:
Ejemplo
)
