Stime basate su sequenze di osservazioni
La teoria della stima si occupa di studiare quantitativamente
l'accuratezza con cui si misurano grandezze non deterministiche che dipende dal numero di osservazioni disponibili
Media Campionaria
è il comportamento asintotico della media aritmetica di n variabili aleatorie ed è definita dalla seguente relazione
per quanto riguarda la media si ha
la media campionaria è una variabile aleatoria la cui media statistica si ricava semplicemente utilizzando la proprietà di linearità
si avrà infatti che
dove μ è la media statistica delle variabili aleatorie X_i. Sinteticamente si dice che S_n è uno stimatore della media statistica.
se lo stimatore è uguale alla grandezza da misurare cioè:
lo stimatore si dice non polarizzato cioè il suo valore coincide con il "Valore vero"
per quanto riguarda la varianza si avrà
svolgendo i calcoli
procedendo
otteniamo in fine che la varianza è uguale
dove si riconosce facilmente la Covarianza delle variabili aleatorie prese in considerazione
dunque possiamo scrivere senza perdita di generalità
nel caso siano indipendenti si avrà
che la covarianza è uguale alla varianza della singola X_i se i=j mentre sarà 0 se i è diverso da j
da cui possiamo dedurre che la varianza della somma di variabili aleatorie incorrelate è data dalla somma delle varianze delle singole variabili aleatorie
Se infine le variabili oltre ad essere incorrelate, hanno tutti la stessa varianza si ottiene che
Legge dei grandi numeri
data una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite la media campionaria converge, in media quadratica, al valore comune μ della media statistica delle singole variabili aleatorie
tale legge è valida anche se le variabili aleatorie non sono indipendenti ma solamente incorrelate, aventi tutte la stessa media e la stessa varianza
Ci dice essenzialmente che, da un punto di vista analitico, la media statistica coincide con la media aritmetica di un numero molto grande di osservazioni
si può affermare che pur essendo la media campionaria a sua volta una variabile aleatoria, al crescere del numero delle osservazioni essa tende a diventare una quantità deterministica
l'errore quadratico medio che si commette nell'approssimare la media statistica con la media campionaria è inversamente proporzionale al numero di osservazioni
l'errore quadratico medio indica la discrepanza quadratica media fra i valori dei dati osservati ed i valori dei dati stimati.
non si opera con un numero infinito di prove ma con un numero definito che è possibile misurare a partire dalla deviazione standard che si vuole commettere nel calcolare tale probabilità
considerando che più il numero di osservazioni cresce più la deviazione standard decresce
se si considera l'evento A che ha probabilità P(A) di accadere e probabilità 1-P(A) di non accadere per la legge dei grandi numeri si avrà che
dove N_A è il numero di volte che si è verificato l'evento A
la varianza dello stimatore è data
dove Var(X_A) è data da P(A)*(1-P(A))
da cui si ottiene che la deviazione standard
considerando che P(A)*(1-P(A) non sarà mai maggiore di 1/4
partendo da questa definizione
possiamo dire che a seconda di quanto più piccolo vogliamo la nostra deviazione standard possiamo calcolare il numero di osservazioni da dover fare.
in realtà tranne nel caso in cui P(A)=(1-P(A) basta un numero inferiori di osservazioni, per il calcolo preciso bisognerebbe conoscere con precisione la probabilità di P(A)