Coppia V.A. congiuntamente Gaussiane

Una coppia di V.A. gaussiane si ottiene da una trasformazione affine non singolare di V.A. gaussiane standard indipendenti

cioè

a3a4a1a2

con X_01 e X_02 gaussiane standard indipendenti

la PDF congiunta ha la forma generale

b1b2b3b4

Dove C è la matrice di covarianza

vettore delle medie è il vettore delle medie

il generico termine cattura3 della matrice è la covarianza mutua

ed è uguale

cattura4cattura5

per cui si ha che

cattura6cattura7cattura8cattura9

dove sulla diagonale principale abbiamo le varianze delle singole V.A. e sulla diagonale secondarie abbiamo le covarianze

scrivibile come

matrice covarianzematrice covarianze1

prendendo in considerazione il coefficiente di correlazione definito come

coefficiente di correlazione

possiamo scrivere la matrice di covarianza come

matrice covarianze2matrice covarianze3

il determinante sarà uguale alla diagonale principale meno la diagonale secondaria

si ottiene facilmente che

detdet2

sapendo che l'inverse di una matrice è data dalla formula

inversainversa2

abbiamo che

matrice covarianze4matrice covarianze5

è possibile esplicitare la formula in termini di medie, varianze e coefficiente di correlazione

questo coefficiente è definito sempre tra -1 e 1

che può essere sostituito nella prima espressione

riguardo la prima parte abbiamo

riguardo la seconda parte abbiamo

b2

in cui N=2 e |C| altro non è che il determinate della matrice C

quindi può essere scritto come

covidd

Celevato

utrasposta1

unormale1

matrice covarianze4matrice covarianze5

unormaleunormale2

utraspostautrasposta2

facendo il prodotto si ottiene una matrice 1x2

formula de merdeformula de merde2formula de merde3formula de merde4

facendo il prodotto con la matrice 1x2 calcolata in precedenza si ottiene

formula de merde5formula de merde6formula de merde7formula de merde8à

si vuole verificare che se due variabili aleatorie gaussiane sono incorrelate allora sono anche indipendenti

cioè se ρ=0 allora

la PDF congiunta è prodotto delle PDF marginali

pdf congiunta2PDF congiunta3

unendo le varie definizioni

r1r2r3r4r5r6

unendo le due otteniamo

ponendo ρ=0 cioè dicendo che le due variabili sono incorrelate

si ha

r1r7r8r9r10

Scomponibile come

r1r11r12r13r14

che è appunto prodotto delle singole PDF