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Coppia V.A. congiuntamente Gaussiane - Coggle Diagram
Coppia V.A. congiuntamente Gaussiane
Una coppia di V.A. gaussiane si ottiene da una trasformazione affine non singolare di V.A. gaussiane standard indipendenti
cioè
con X_01 e X_02 gaussiane standard indipendenti
la PDF congiunta ha la forma generale
Dove C è la matrice di covarianza
il generico termine
della matrice è la covarianza mutua
ed è uguale
per cui si ha che
dove sulla diagonale principale abbiamo le varianze delle singole V.A. e sulla diagonale secondarie abbiamo le covarianze
scrivibile come
prendendo in considerazione il coefficiente di correlazione definito come
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è il vettore delle medie
è possibile esplicitare la formula in termini di medie, varianze e coefficiente di correlazione
riguardo la prima parte abbiamo
in cui N=2 e |C| altro non è che il determinate della matrice C
quindi può essere scritto come
unendo le due otteniamo
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riguardo la seconda parte abbiamo
facendo il prodotto si ottiene una matrice 1x2
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facendo il prodotto con la matrice 1x2 calcolata in precedenza si ottiene
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si vuole verificare che se due variabili aleatorie gaussiane sono incorrelate allora sono anche indipendenti
cioè se ρ=0 allora
la PDF congiunta è prodotto delle PDF marginali
