Coppia V.A. congiuntamente Gaussiane
Una coppia di V.A. gaussiane si ottiene da una trasformazione affine non singolare di V.A. gaussiane standard indipendenti
cioè
con X_01 e X_02 gaussiane standard indipendenti
la PDF congiunta ha la forma generale
Dove C è la matrice di covarianza
è il vettore delle medie
il generico termine della matrice è la covarianza mutua
ed è uguale
per cui si ha che
dove sulla diagonale principale abbiamo le varianze delle singole V.A. e sulla diagonale secondarie abbiamo le covarianze
scrivibile come
prendendo in considerazione il coefficiente di correlazione definito come
possiamo scrivere la matrice di covarianza come
il determinante sarà uguale alla diagonale principale meno la diagonale secondaria
si ottiene facilmente che
sapendo che l'inverse di una matrice è data dalla formula
abbiamo che
è possibile esplicitare la formula in termini di medie, varianze e coefficiente di correlazione
questo coefficiente è definito sempre tra -1 e 1
che può essere sostituito nella prima espressione
riguardo la prima parte abbiamo
riguardo la seconda parte abbiamo
in cui N=2 e |C| altro non è che il determinate della matrice C
quindi può essere scritto come
facendo il prodotto si ottiene una matrice 1x2
facendo il prodotto con la matrice 1x2 calcolata in precedenza si ottiene
si vuole verificare che se due variabili aleatorie gaussiane sono incorrelate allora sono anche indipendenti
cioè se ρ=0 allora
la PDF congiunta è prodotto delle PDF marginali
unendo le varie definizioni
unendo le due otteniamo
ponendo ρ=0 cioè dicendo che le due variabili sono incorrelate
si ha
Scomponibile come
che è appunto prodotto delle singole PDF