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Momenti Congiunti di due V.A. - Coggle Diagram
Momenti Congiunti di due V.A.
I momenti forniscono una caratterizzazione globale di una variabile aleatorie. Nel caso in cui si considerano due o più variabili aleatorie è utile definire altri momenti che indicano il grado di influenza reciproca tra le variabili considerate
Considerate due V.A., X ed Y, si definisce il momento congiunto di ordine k (= m + r) la media:
Particolare importanza rivestono i momenti centrali e non centrali di primo e secondo ordine
corrispondenti alle coppie di indici {m,r}={10,01,11, 20,02}
Momenti del primo ordine
Sono le medie delle singole variabili aleatorie
Momenti del secondo ordine
sono i valori quadratici medi delle singole V.A. e la correlazione tra le due variabili
correlazione e covarianza sono legate dalla relazione
da qui possiamo dire che se la correlazione r è uguale al prodotto delle medie allora
se essa è uguale a zero
Se si considerano i momenti centrali del secondo ordine si ottengono le varianze delle singole V.A. e la loro Covarianza
sviluppando il prodotto si ha
che può essere scritto
che è uguale a
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incorrelazione e indipendenza
Due variabili si dicono
INCORRELATE
se la loro covarianza è nulla
se almeno una delle due variabili incorrelate ha media =0 (u_X o u_Y) allora esse sono anche in quanto risulterebbe 0 anche la correlazione
il fatto che due variabili aleatorie siano incorrelate non è condizione sufficiente per dire che esse sono anche indipendenti mentre vale il contrario
due variabili indipendeti sono anche incorrelate
dimostrazione
supponiamo che le V.A. siano di tipo continuo. in tal caso essendo staticamente indipendenti, la loro PDF congiunta è il prodotto delle PDF marginali
dunque
si vuole dimostrare che la correlazione è uguale al prodotto delle medie condizione sufficiente a finchè essa sia incorrelata
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due variabili incorrelate non sono per forza indipendenti (anche se sono oltre che incorrelate anche ortogonali)
esempio
siano
due variabili aleatorie
con
avendosi
Le due variabili dunque sono sia incorrelate che ortogonali
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Due variabili aleatorie si dicono
ORTOGONALI
se la correlazione è nulla
