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Distribuzioni e densità condizionate, Variabili aleatorie INDIPENDENTI -…
Distribuzioni e densità condizionate
CDF condizionata ad un evento
La CDF di una V.A. condizionata ad un evento B avente probabilità non nulla, è la funzione
con
che nel caso di una V.A condizionata da un'altra V.A. si scrive come
e la corrispondente densità di probabilità, se esiste, si ottiene derivando la CDF rispetto alla variabile x
quando si "gioca" con più variabili aleatorie diventa più facile la formalizzazione dei problemi tramite le CDF, PMF e PDF condizionate.
PMF condizionata ad un evento
La PMF di una V.A.discreta condizionata ad un evento B avente probabilità non nulla, è la funzione
con
che in caso la V.A. X sia condizionata da un'altra V.A. Y è generalizzata nel seguente modo
con
PDF condizionata ad un evento
La PDF di una V.A. continua condizionata ad un evento B è la derivata della CDF condizionata e cioè:
Si definisci in modo analogo una PDF condizionata della V.A. X data la V.A. Y
come (definizione)
con
dalla definizione di PDF condizionata segue la legge della probabilità composta per le PDF
cioè
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Variabili aleatorie INDIPENDENTI
L'indipendenza tra n variabili aleatorie si ha quando la loro CDF congiunta è il prodotto delle singole CDF marginali
equivalentemente
Equivalentemente, supposta le variabili aleatorie continue, derivando, si ricava che per V.A. indipendenti la PDF congiunta è il prodotto delle PDF marginali
Se le V.A. sono discrete si ricava che la PMF congiunta è il prodotto delle PMF marginali
