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Dinámica del cuerpo rígido - Coggle Diagram

- - - - Definiendo que la traslación es todo movimiento en cuyo curso de todo segmento (rectilíneo o curvilíneo) del cuerpo permanece en paralelo a su posición original. Ningún segmento del cuerpo se queda sin girar
      - Movimiento plano de traslación rectilínea
        
        Todos los puntos del cuerpo recorren rectas paralelas
      - Movimiento plano de traslación curvilínea
        
        Todos los puntos recorren curvas congruentes
    - - La rotación en torno a un eje es el movimiento angular alrededor de dicho eje. Se deduce que todos los puntos seguirán trayectorias circulares alrededor de un eje de rotación y de todos los segmentos rectilíneos del cuerpo giran al mismo tiempo en ángulos iguales.
    - - Es la combinación de movimientos puros, es decir, de Rotación y traslación.
  - - - Así pues, todas las rectas de un cuerpo rígido tendrán, en su plano de movimiento, el mismo desplazamiento angular, la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.
        Notemos que el movimiento angular de una recta sólo depende de su desplazamiento angular respecto a un eje de referencia arbitrario cualquiera y las derivadas respecto al tiempo de desplazamiento. El movimiento angular no exige la presencia de un eje fijo normal al plano del movimiento alrededor del cual giren la recta y el cuerpo.
        
        Las ecuaciones del movimiento angular son: 𝜔=𝑑𝜃/𝑑𝑡=𝜃̇ 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
        𝛼=𝑑𝜔/𝑑𝑡=𝜔̇ 𝑜 𝑠𝑒𝑎, 𝛼=𝑑^2𝜃/𝑑𝑡^2=𝜃̈ 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.
        Al igual que en el movimiento rectilíneo de la partícula, aquí tenemos
        𝜃2=𝜃1+𝜔(Δ𝑡) 𝑠𝑖 𝜔=𝑐𝑡𝑒 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑜 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
        𝜔2=𝜔1+𝛼(Δ𝑡) 𝜔2 a 2=𝜔1 a 2+2𝛼(Δ𝜃)
        𝜃2=𝜃1+𝜔1𝑡+ 1 a 2𝛼𝑡^2 = 𝑀𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑜 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
  - - - Observamos que 𝑟𝐵𝐴⁄ permanece constante durante todo su movimiento en un intervalo de tiempo, esto se debe a que no cambia la distancia que existe entre los punto A y B por lo tanto al derivar la ecuación anterior se tiene
        𝑣𝐵=𝑣𝐴 𝑦 𝑎𝐵=𝑎𝐴
        
        Por lo tanto se concluye que cuando un cuerpo rígido se encuentra en traslación, todos sus puntos tienen las mismas velocidades y la misma aceleración en cualquier instante dado.
  - - - La posición de P y de todo el cuerpo queda completamente definida por el ángulo θ que la línea BP forma con el plano xy. El ángulo θ se conoce como coordenada angular y se considera positiva cuando su sentido es contrario a las manecillas de reloj con respecto al eje a tratar.
        Pero como sabemos que v=𝑑r𝑑𝑡⁄ de una partícula P y es un vector tangente a la trayectoria de una circunferencia, por lo que
        
        Δ𝑠=𝐵𝑃 (Δ𝜃)= (𝑟𝑃𝑂⁄sin𝜑) (Δ𝜃)
        Al derivarlo obtenemos que: 𝑣=𝑑𝑠𝑑𝑡=𝑑[(𝑟𝑃𝑂⁄sin𝜑) (Δ𝜃)]𝑑𝑡=𝑟𝑃𝑂⁄ 𝜃̇sin𝜑
        Donde 𝜃̇ es conocida como la velocidad angular y es dirigido a lo largo del eje de rotación y su magnitud es igual a la razón de cambio de la coordenada angular y sigue la regla de la mano derecha con base en el sentido de rotación del cuerpo. Por lo que
        𝑣⃗=𝑑𝑟𝑃𝑂⁄⃗d𝑡 = 𝜔⃗ ×𝑟𝑝𝑜⁄⃗ VELOCIDAD LINEAL
        𝑎⃗= (𝛼⃗×𝑟𝑃𝑂⁄⃗) +(𝜔⃗ x (𝜔⃗ x 𝑟𝑃𝑂⁄⃗)) ACELERACIÓN LINEAL
- - - - Como podemos observar en la siguiente figura se representa un cuerpo rígido que se mueve en el plano general y cambia su posición de los punto AB a A’B’ en un determinado tiempo Δt. Este movimiento lo podemos ver en dos fases.
        El primero es que el cuerpo sufre un DESPLAZAMIENTO Δ𝑟𝐵que los trasladaría paralelamente así mismo, de los puntos AB a los Puntos A’’B’.
        La segunda el cuerpo ROTARÁ a un ángulo Δ𝜃 en torno al punto B’. Por lo que observamos que en la rotación en el punto B’, se dará lugar a un desplazamiento relativo Δ𝑟𝐵/𝐴 de A con respecto al punto B.
        
        Por lo que la ecuación será: Δ𝑟𝐵=Δ𝑟𝐴+Δ𝑟𝐵𝐴
        Derivando la ecuación anterior obtenemos las velocidades del sistema de Movimiento Plano General. 𝑣𝐵=𝑣𝐴+𝑣𝐵𝐴
        Como observamos 𝑣𝐵𝐴⁄ es una rotación relativa, o sea, 𝑣𝐵𝐴⁄=𝜔×𝑟𝐵𝐴
  - - - El centro instantáneo es un punto de un cuerpo rígido cuya velocidad es cero en un momento dado. “Instantáneo” significa que podría tener velocidad igual a cero solo en el instante considerado, aunque también se refiere a un punto fijo como un centro instantáneo, por ejemplo, el punto de un eje fijo con respecto al cual gira un cuerpo rígido.
        
        La posición de un centro instantáneo de se define de dos maneras. Si se conocen las direcciones de las velocidades de dos partículas A y B de la placa, y si son diferentes, el centro instantáneo C se obtiene dibujando una línea perpendicular a la velocidad 𝑣𝐴 a través del punto A, y una línea perpendicular a la velocidad 𝑣𝐵 a través del punto B, y donde las dos líneas se cortan u intersectan se localizará en centro instantáneo de rotación C.
        
        Cuando se conoce la posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento plano y también su velocidad angular, las velocidades de otros puntos son fáciles de determinar.
  - - - Podemos derivar esta ecuación para obtener la aceleración del punto B, y se dice que es igual la aceleración del punto A más (vectorialmente) la aceleración aparente (relativa) de B respecto a un observador no giratorio que se mueve con A. Por lo tanto, si los punto A y B están situados en el mismo plano de movimiento del cuerpo rígido, la distancia del vector de posición 𝑟𝐵𝐴⁄ entre ambos permanece constante, por lo que el observador solidario de A verá a B moviéndose circularmente alrededor de A, tal como como se vio en la velocidad relativa.
        Dado que el movimiento relativo es circular resulta que tendremos aceleraciones relativas con una componente normal y una aceleración relativa con una componente tangencial, por lo que la ecuación será:
        
        (𝑎𝐵/𝐴)^𝑛=𝜔×(𝜔×𝑟𝐵𝐴⁄) ⋯⋯ Aceleración Relativo Normal
        
        (𝑎𝐵/𝐴)𝑡=𝛼×𝑟𝐵/𝐴 ⋯⋯ Aceleración Relativo Tangencial.
        Por lo que,  es la velocidad angular del cuerpo y α es la aceleración angular del mismo.