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Números enteros - Coggle Diagram
Números enteros
Operaciones
Definición 5.2.1. Para u y v enteros,con u =[(m,n)] y v=[(p,q)], definamos u+v=[(m+p,n+q)]
Propiedad 1. Todo a ϵ ℤ es múltiplo de sí mismo, pues a . 1 = a: Esto es, la relación \ es
reflexiva
Propiedad 2 Para a = 3 y b = -3 tenemos a\b y b\a; pero a≠ b: Entonces la relación n
no es antisimétrica en
Propiedad 3 La relación \ es transitiva. Esto es, si a\b y b\c, entonces a\c:
En efecto, si b = ak y c = bl; entonces c = a(kl):
Propiedad 4 Supongamos que a es divisor de -b. Entonces a es divisor de -b de a, de b y
de b. También |a| es divisor de |b|
Propiedad 5. Si a es divisor de b 6= 0; entonces |a|≤ |b| : En particular, si an1 se sigue que a =± 1
Propiedad 10 Si a es divisor de b, entonces (a, b) = |a|. En particular (a,0) =|a|
Propiedad 6. Si a es divisor de b y c; entonces a es divisor de b+c y b-c: Más generalmente, a es divisor de bx + cy, para todo par x,y ϵ ℤ.
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Propiedad 8. Para a, b enteros (no ambos nulos) tenemos (a,b) = (b, a)
Propiedad 9.Para a,b ϵ Z tenemos:
(a, b) = (-a, b) = (a,- b) = (-a, -b) = (|a|)
Definición5.2.2. Para u =[(m,n)] y v= [(p,q)] se define la multiplicación u.v como u.v=[(m,n)].[(p,q)] = [(mp+nq,mq+np)]
Construcción de conjunto cociente: Consideramos la función R definida por el conjunto ℕ x ℕ: ℤ= (ℕ x ℕ)/ R
Lema 5.2.1 (Generalización del principio del buen orden) Si A es subconjunto no vacío de
Z, acotado inferiormente, entonces A tiene primer elemento (i.e. elemento mínimo)
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Teorema 9 (Algoritmo de la división) Sean a, b ϵ ℤ, con b ≠ 0. Entonces q,r ϵ ℤ únicos, tales que a =bq+r, 0≤ r <|b|
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Lema 5.3.1 Si d = (a, b), existen x, y ϵ Z tales que ax +bx= d
Definición 5.3.2 Dos números enteros a y b se llaman primos entre sÌ (o primos relativos)
si (a, b) = 1