一元函数积分学

变上限函数 💥

定积分
（数值）

定积分的定义与性质

定积分的性质

定积分的定义

定积分的基本性质

2.区间可加性

3.积分的不等式性

4.积分中值定理（闭区间）

可积3种情况 💥

变上限函数连续的条件及证明

变上限函数可导的条件及证明

定积分定义法求极限
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{{\rm{i}} = 0}^n {f(a + \frac{{i(b - a)}}{n})\frac{{b - a}}{n} = \int_a^b {f(x)dx} }$

不定积分
(被积函数原函数的集合)

不定积分的计算

特殊的可积分类型(见高数书)

无理式积分

有理函数积分
假分式变为一个多项式和真分式的和

广义积分

正常积分：
积分区间有限，被积函数有界 💥

广义积分类型

1.无穷限广义积分
（区间至少一端无限）

2.无界函数广义积分
（函数f(x)有瑕点）

1.线性性

推论1：$(g(x)=0$的特殊情况)
若函数$f(x)$在[a,b]上可积，且$f(x) = 0$，则$\int_a^b {f(x)dx} \le 0 $

推论2(积分估值定理)

若函数$f(x)$,$g(x)$在[a,b]上可积，且$f(x) \le g(x)$，则$\int_a^b {f(x)dx} \le \int_a^b {g(x)dx} $

推论3 ❗
若函数$f(x)$,$g(x)$在[a,b]上可积，且$|f(x)|$也可积，
则|$\int_a^b {f(x)dx} |\le \int_a^b {|g(x)|dx} $

定积分基本性质的推广

1.积分中值定理的推广(开区间) #

2.积分第一中值定理$f(x),g(x)$ #

3❗.设若函数$f(x)$在[a,b]上可连续，$f(x)$非负且$\int_a^b {f(x)dx} =0$，则$f(x) \equiv 0$.

4❗.设若函数$f(x)$在[a,b]上可连续，$f(x)$不恒为0，则$\int_a^b {f(x)dx} >0$.

三角函数定积分性质
设若函数$f(x)$在[0,1]上可连续,

1.点火公式

2. ❗
$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}=\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f(\sin x)dx}$

3. ❗
$\int_0^\pi {f(\sin x)dx} = 2\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}$
$\int_0^{2\pi } {f(|\sin x|)dx} = 4\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}$

4. ❗
$\int_0^\pi {f(|cos x|)dx} = 2\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$
$\int_0^{2\pi } {f(|\cos x|)dx} = 4\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$

周期函数定积分的性质

见讲义5条

见宇哥笔记

形如$\int {\frac{{A\sin x + B\cos x}}{{a\sin x + b\cos x}}} dx$

问：$\int_\infty ^\infty {f(x)dx} = 0$为0，则$f(x)$收敛吗？
A：不收敛，反例$f(x)=x$

注意递推${I_n}$

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