极限与连续

函数的连续性

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数列极限

数列极限的定义

收敛数列的性质

1.(唯一性)收敛数列的极限唯一。

2.(有界性)收敛数列必有界。反之，不一定。

3.数列{ ${{\rm{{ }}{{\rm{X}}_n}{\rm{} }}}$ }收敛于A的充分必要条件是数列{ ${{\rm{{ }}{{\rm{X}}_n}{\rm{} }}}$ }的奇子列和偶子列都收敛于A。

4.数列{${{\rm{{ }}{{\rm{X}}_n}{\rm{} }}}$}收敛于A的充分必要条件是数列{${{\rm{{ }}{{\rm{X}}_n}{\rm{} }}}$}的所有子列都收敛于A。

函数极限

函数极限的定义

望远镜法$x \to + - \infty $
($\varepsilon - X$)

放大镜法$[x \to x_0^{ + - }]$
($\varepsilon - \delta $)

极限的性质

极限的一般性质

2.(局部有界性）

3.(局部保号性/脱帽法) > >

1.(唯一性)极限存在必唯一。

4.(戴帽法) $\le \le$

无穷小

无穷小性质

极限存在准则

极限的运算法则

（保序性）函数大小次序决定极限大小次序 #

注意放大抓小公式

1.夹逼准则
(函数型/数列型)

2.单调有界收敛准则

2.有限个无穷小的和差积仍是无穷小

3.有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

无穷小比阶

1.无穷小定理
(无穷小与函数极限的关系/
函数值与极限之间的关系） #

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非零常数不影响阶数

乘法时阶数累加

加减法时低阶吸收高阶

连续的定义

$f(x)$在$[a,b]$上处连续的定义
(三段连续法)

间断点的分类

第一类间断点：$f(a+0),f(a-0)$都存在。

第二类间断点：$f(a+0),f(a-0)$至少有一个不存在。

$f(x)$在$x=a$点处连续的定义
(两种定义)

闭区间上连续函数的性质
$f(x)$在$[a,b]$上连续

2.(有界定理)$[]$

3.(零点定理)$()$

1.(最值定理)$[]$

4.(介值定理)$[]$

(海涅定理/归结原则) ❗

若$f(x)$在$x=a$处连续，则$|f(x)|$在$x=a$处连续,
反之，不对。
反例：自举。

若$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {a_n} = A$,则$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {|a_n|} = |A|$ #

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