DEFINIÇÃO

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz.

REGRAS

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas para realizar estes cálculos.

TEOREMA DE LAPLACE

O teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.

O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.

Observa a Matriz:

De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:

Precisamos encontrar os valores dos cofatores:

REGRA DE SARRUS

Regra de Sarrus é um método prático usado para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, sendo o determinante um número associado a uma matriz quadrada e seu cálculo depende da ordem da matriz.

Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas.

Multiplicar os elementos localizados na direção da diagonal principal, com o sinal de mais na frente de cada termo. Observe que são tomadas as diagonais que apresentam 3 elementos.

O resultado será: a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32

Multiplica-se os elementos localizados na direção da diagonal secundária, trocando o sinal do produto encontrado.

O resultado será: - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33

Juntar todos os termos, resolvendo as adições e subtrações. O resultado será igual ao determinante.

REGRA DE CHIÓ

A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem menor (ordem n-1).

Para se utilizar esta regra é necessário que o elemento a11 seja igual a 1.

Dos elementos que restaram, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante.

Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.

Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, matriz esta com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

Exemplo:

De cada elemento da nova matriz subtrairemos o produto dos elementos suprimidos (elementos coloridos).

TEOREMA DE JACOBI

Esse teorema diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada, facilitando os cálculos.

“Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B.Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B”

Atente-se ao simples detalhe de somar os elementos aos seus correspondentes de outra fila, ou seja, se multiplicarmos uma linha por um número qualquer (k), deveremos somar o resultado (elemento x k) pelos elementos de outra linha.