massimo e minimo
Si dice massimo (minimo) di una funzione f il più grande (piccolo) dei valori che essa assume.
Il massimo e il minimo vengono spesso detti anche massimo assoluto o minimo assoluto
Nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile che siano interni al dominio la derivata è nulla
si dice che è un punto minimo locale o relativo per la funzione f se esiste un intorno tale che f(x) f(x0)f(x)f(x0) x ìix0
Per trovare i massimi e minimi prendiamo in considerazione:
1) tutti i punti massimi e minimi locali, dove f'(x0)=0 ;
2) eventuali punti angolosi;
3) estremi dell'intervallo.
Confrontandoli troviamo così il massimo e minimo assoluto.
Per sapere se questi sono punti di massimo di minimo per la curva si può procedere in 2 modi:
1°METODO: Si studia il segno della derivata prima, studiando la disequazione f'(x)>0
Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce, facendoci comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
I punti di massimo sono quelli t.c. f'(xi)=0 mentre f'(x)>0 a sinistra di xi e f'(x)<0 a destra;
I punti di minimo sono quelli t.c. f'(xi)=0 con f'(x)<0 a sinistra di xi e ,f'(x)>0 a destra.
Invece se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono nè di massimo nè di minimo.
2°METODO: Si sostituiscono le ascisse dei punti xi nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa:
se f''(xi)>0 allora la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo ;
se f''(xi)<0 allora la concavità sarà rivolta verso il basso perciò il punto è di massimo;
se f''(xi)=0 allora non possiamo concludere nulla.