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#4 Les Nombres - Coggle Diagram
#4 Les Nombres
entiers naturels
\( \mathbb N \)
\( \text{Toute partie non vide de $\mathbb N$ admet un plus petit élément} \\ \text{Tout partie non vide majorée de $\mathbb N$ admet un plus grand élément} \)
entiers relatifs
\( \mathbb Z \)
\( \text{Toute partie non vide minorée de $\mathbb Z$ admet un plus petit élément} \\ \text{Toute partie non vide majorée de $\mathbb Z$ admet un plus grand élément} \)
nombres rationnels
\( \mathbb Q \)
\( \textbf{Caractérisation des rationnels} \\ \text{Un nombre est rationnel $\Leftrightarrow$ il admet une écriture décimale périodique} \)
nombres réels
\( \mathbb R \)
\( \text{Pleins d'astuces de calcul à voir sur le carnet} \)
\( \textbf{Théorème de la borne sup} \\ \text{Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ a une borne sup} \)
\( \textbf{Lemme d'archimède (caractère archimédien de $\mathbb R$)} \\ \forall a \geqslant 0, \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N, \quad n_0\varepsilon \geqslant a \)
\( \textbf{Convexité} \\ \text{Convexité $\Leftrightarrow$ Intervalle} \\ \forall a, b \in C, \quad [a, b] \subset C \)
nombres complexes
\( \mathbb C \)
\( \textbf{Module !} \\ |z| = \sqrt{z\bar z} \\ \tiny \text{Donc } |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \frac{1}{z} = \frac{\bar z}{z\bar z} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2} \)
\( \textbf{Inégalité de Cauchy-Schwartz} \\ |\mathfrak R\text e (z_1 \bar {z_2})| \leqslant |z_1||z_2| \)
\( \text{Pleins d'astuces de calcul à voir sur le carnet} \)
\( \textbf{Racines $n^\text e$ de l'unité} \\ \mathbb U_n = \{ \text e^{2ik\pi/n} : 0 \leqslant k \leqslant n - 1 \} \)
géométrie
\( \textbf{Angle orienté} \\ (\vec {CA}, \vec {CB}) = \text{arg} \frac{b - c}{a - c} [2\pi] \)
\( \text{$A$ $B$ $C$ alignés $\Leftrightarrow$ }\frac{b - c}{a - c} \in \mathbb R \)
\( (AB) /\!/(AC) \Leftrightarrow \frac{b - c}{a - c} \in i\mathbb R \)