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Progressões Aritméticas e Geométricas - Coggle Diagram
Progressões Aritméticas e Geométricas
Geométricas
Uma progressão é considerada geométrica se e somente se A(n)=q * A(n-1).Em outras palavras, A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2). (Isso é, se a função estiver definida)
Termo Geral
A(n)=A(p)*q^(n-p)
"q" é a razão, tal que, por exemplo, A(5)= A(1)*q^4
Fórmula da Soma dos termos
S(n)=A(1)*(q^n-1)/(q-1)
A ideia por trás da demonstração dessa fórmula é a realização de que, se você multiplicar a soma dos termos (A(1)+a(1)Q^(N-1)) por q e subtrair pela sua versão original, os termos intermediários irão se cancelar.
Termo Médio
sqrt(A(n-k)*A(n+k))
Fórmula do produto
Demonstração
Multiplicando todos os termos de uma PG, é trivial que ele seria igual a A(1)^n*q^x
Para achar x, basta entender que ele é a soma dos poderes da PG ou seja, é uma PA. Aplicando a fórmula da soma para a PA 0+1+2+3+4+...+n-1, chegamos no resultado da imagem.
Soma Infinita
S=A(n)/(1-q)
Representação Genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem o produto de uma PG é fazer com que a razão se cancele no processo.
Aritméticas
Termo Geral
A(n)=A(p)+R^(n-p)
n, p ⊂ N*
R é o coeficiente linear, tal que, por exemplo, A(3) = A(1) + 2*R
Fórmula da Soma de termos
S(n)= n*(A(1)+A(N)/2
Uma progressão é considerada aritmética se e somente se A(n)=A(n-1)+R for verdade para qualquer n. Em outras palavras, A(n)-A(n-1)= A(n-1)-A(n-2), SE A FUNÇÃO FOR DEFINIDA.
Em diversos exercícios que envolvem a soma dessas somas, é muito útil utilizar uma progressão que cancele o R. Como, por exemplo: (X-R,X,X+R)
Termo médio
(A(n-k)+A(n+k))/2
Representação Genérica
Uma técnica para eliminar uma variável em questões que pedem a soma de uma PA é fazer com que a razão se cancele no processo.
