espacios vectoriales
Base y dimensión de un espacio vectorial,cambio de base
Base
Propiedades
Teorema y Definicion
Ejemplos de dimension
Cambio de base
Para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, apartir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector
Tiene dimension N pues tiene una base de N elementos M22(matricez 22 con terminos reles) tiene dimensiones de 4
1.los vectores de (B) pueden generar todo el espacio vectorial 2.Todos los elementos de la base deben de ser linealmente independientes 3.Una base de V permite expresar todos los vectores de V como convinacion lineal
Espacio vectorial con producto interno y sus
propiedades.
Todas las bases de un mismo espacio o sub espacio tiene el mismo numero de vectores
Es un espacio vectorial V dada dadas dos bases ByB; s ellaman matriz de cambio de base de b a B prima a la matriz que contiene en su columna
Producto interno
conjunto otornornal
Propiedades
Definicion
El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α a pertenece C, ∈entonces.
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v) La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.
Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entoncesAlgunas nociones geométricas en R2 y en R3 pueden definirse a partir del producto escalar. La definición que sigue es una generalización del producto escalar a otros espacios vectoriales.Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno sobre V es una función C : V £ V ! R (respectivamente C) que cumple
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Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.
TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.
TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede
convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.
Base ortonormal, proceso de
ortonormalización de Gram-Schmidt
definicion del metodo
Metodo Gramm-Schmidt
Que es?
Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal.
En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
Primer pasoObtener un primer vector unitario
Segundo paso.Obtener un vector U2, que sea ortogonal a U1 Tercer paso.Normalizarlo
Cuarto paso.obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2
quinto paso.Normalizar U3
Independencia lineal
Combinación lineal
Definición
Cuando se aplica la suma de vectores y la multiplicación por un escalar a un conjunto de vectores, se realiza una combinación lineal. Es decir, la combinación lineal es una expresión.
Definición
Un conjunto es linealmente independiente si no existen combinaciones lineales entre sus vectores; es decir, cada vector existe por si mismo dentro del conjunto. En otra forma, si al combinar linealmente los elementos del conjunto todos los escalares son nulos entonces el conjunto es linealmente independiente; en otro caso los vectores serán linealmente dependientes. La combinación lineal se conoce como ecuación de dependencia lineal.
Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades
Definición
Criterios
Sean u(1), u(2), .... u(k) vectores en R(n) y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax = 0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).*Si k = n los vectores son linealmente independientes si A es invertible.
Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en sí un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.
Teoremas
1.- Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
2.- Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v =! 0, es linealmente independiente.
3.-Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1,v2}, donde v1 =! 0, v2 =! 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
Teorema
Demostración
Para demostrar que H es un espcacio vectorial, debemos verificar que los axiomas de los espacios vectoriales cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicación escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura se cumplen por hipótesis. Puesto que los vectores en H también están en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo se satisfacen. Ahora, si x ∈ H entonces 0x ∈ H,
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ii. Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para todo escalar α
i. Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.
Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:
Definición de espacio vectorial:
El de espacio vectorial es un concepto inherente a la rama denominada como álgebra abstracta, que es la parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de las estructuras algebraicas, tales como los grupos, los cuerpos y los espacios vectoriales , que son justamente el objeto de la presente reseña.
El vector es un instrumento geométrico que se emplea para representar una magnitud física que estará determinada por su longitud, orientación y sentido.
El espacio vectorial, entonces, es una estructura algebraica originada a partir de conjuntos cuyos elementos son plausibles de ser sumados entre sí y multiplicados por números.
Entre los ejemplos de magnitudes vectoriales más comunes se destacan la fuerza que se ejerce sobre un determinado objeto y la velocidad de desplazarse que exhibe un móvil.