Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Геометрия 7 класс - Coggle Diagram
Геометрия 7 класс
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
Точки и прямые.
Основное свойство прямой: через любые 2 точки можно провести прямую, притом только одну.
Определение: 2 прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Теорема: любые 2 пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Точка - самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например,
Прямая - это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.
Отрезок и его длина
Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Все точки лежащие между концами отрезка называют внутренними.
Определение: 2 отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.
Основное свойство длины отрезка: если точка
С
является внутренней точкой отрезка
AB
, то отрезок
AB
равен сумме отрезков
AC
и
CB
.
Определение: расстояние между точками
A
и
B
называют длину отрезка
АВ
.
Серединой отрезка
АВ
называют такую его точку
С
, что
АС
=
СВ
.
Луч.Угол.Измерение углов.
Луч - часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.
Определение: 2 луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, сторонами угла, выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Определение: угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называют развёрнутым.
Определение: биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на 2 равных угла.
Определение:
угол, градусная мера которого меньше 90 градусов, называют острым
Угол, градусная мера которого больше 90 градусов, но меньше 180, называют тупым.
Угол, градусная мера которого равна 90 градусов, называют прямым.
Основное свойство величины угла: если луч
ОС
делит угол
АОВ
на 2 угла
АОС
и
СОВ
, то угол
АОВ
= углу
АОС
+ угол
СОВ
.
Смежные и вертикальные углы
Определение: 2 угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.
Теорема: сумма смежных углов равна 180 градусов.
Определение: 2 угла, отличные от развёрнутого, называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.
Теорема: вертикальные углы равны.
Перпендикулярые прямые
Определение: 2 прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол.
Определение: 2 отрезка называю перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.
Теорема: через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Аксиома – исходное положение теории, принимаемое без доказательств.
Глава 2. Треугольники.
Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника.
Определение: периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
Определение:
треугольник называют острым, если все его углы острые.
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой.
Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой.
Определение: 2 треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.
Основное свойство равенства треугольников: для данного треугольника
АВС
и луча
А1М
существует треугольник
А1В1С1
, равный треугольнику
АВС
,такой, что
АВ
=
А1В1
,
ВС
=
В1С1
,
АС
=
А1С1
и сторона
А1В1
принадлежит лучу
А1М
, а вершина
С1
лежит в заданной полуплоскости относительно прямой
А1М
.
Теорема: через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной..
Определение: две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.
Определение: перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника напрямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Определение: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
Определение: отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.
Первый и второй признаки равенства треугольников.
Теорема, первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между
ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Определение: прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину,называют серединным перпендикуляром отрезка.
Теорема: каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Теорема, второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равнобедренный треугольник и его свойства.
Определение: треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным. Равные стороны треугольника называют бокоми, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.
Определение: треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
Теорема: В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из угла при вершине, является медианой и высотой.
Определение: если в треугольнике длины всех сторон различны, то такой треугольник называют разносторонним.
Признаки равнобедренного треугольника.
Теорема: если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Теорема: если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Теорема: если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
Теорема: если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Третий признак равенства треугольников.
Теорема: если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема: если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Теорема
- это утверждение, которое было доказано на основе ранее установленных утверждений.
Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника.
Параллельные прямые.
Определение: две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
Теорема: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Следствие: через данную точку
М
, не принадлежащую прямой
а
,
можно провести прямую
b
, параллельную прямой
а
.
Основное свойство параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Признаки параллельности 2 прямых.
Теорема: если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Теорема: если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые
параллельны.
Теорема: если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых.
Теорема: если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.
Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.
Теорема: если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
Следствие: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Определение: расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до
другой прямой.
Сумма углов треугольника.
Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Следствие: среди углов треугольника хотя бы два угла острые.
Определение: внешним углом треугольника называют угол, смежный углом этого треугольника.
Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Следствие: внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.
Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Теорема: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит б
о
льшая сторона.
Прямоугольный треугольник.
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой.
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны прилежащие прямому углу, - катетами.
Признак равенства прямоугольных треугольников: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то таки треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников: если катет и противолежащий ему острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету
и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Теорема: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого,
то такие треугольники равны.
Свойства прямоугольного треугольника.
Теорема: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие: если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
Геометрическое место точек. Окружность и круг.
Определение: геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.
Теорема: серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого,
отрезка.
Теорема: биссектриса угла является геометрическим местом точек,
принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.
Прямая теорема: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от ого
сторон.
Обратная теорема: если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его
сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Определение: окружностью называют геометрическое место точек
равноудалённых от заданной точки.
Определение: кругом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.
Хорду, проходящую через
центр окружности, называют диаметром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с сё центром, называют
радиусом окружности.
Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности.
Теорема: диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Теорема: диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
Определение: прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
Теорема: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Теорема: если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Следствие: если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
