PROPIEDADES RELATIVAS A PUNTOS Y LÍNEAS FUNDAMENTALES DE UN TRIÁNGULO
teorema 5,7 cuando se obtiene la hipotenusa de un triángulo , se pueden verificar 5 proposiciones:
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Teorema No. 5.11 (Teorema recíproco de Menelao).-
Teorema No. 5.12 (Teorema de Ceva).-
Teorema No. 5.10 (Teorema de Menelao).-
Teorema No 5.13 (Teorema recíproco de Ceva).-
Teorema 5.4.-
Si una transversal determina sobre los lados de un triángulo seis segmentos, el producto de tres de ellos que no tengan extremos comunes es igual al producto de los otros tres.
Si en un triángulo se tienen tres puntos; dos en dos lados del triángulo y el tercero en la prolongación del tercer lado que determinan seis segmentos que satisfacen el teorema de Menelao, entonces los tres puntos son colineales.
El cincuncentro de un triángulo equidista de sus tres vértices
Teorema No.5.1
Si desde los vértices de un triángulo se trazan cevianas que pasan por un punto interior, se obtiene seis segmentos sobre los lados del triángulo tal que, el producto de los tres segmentos que no tengan extremos comunes es igual al producto de los otros tres.
Teorema 5.5
El baricentro de un triángulo determina en cada mediana dos segmentos cuyas longitudes estan en relación 2 a1
2) el producto de los catetos del triangulo original es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a la misma. a.b=c.H
1) la altura relativa a la hipotenusa determina triángulos rectángulos semejantes entre sí y semejantes con el original: En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
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Si se traza una bisectriz interna y externa de un mismo vértice de un triángulo, los pies de estas bisectrices determinan en el lado opuesto (o en su proyección) segmentos que son respectivamente proporcionales a los otros dos lados del triángulo es decir lo dividen armónicamente
Si en un triángulo se encuentran trazadas tres cevianas, una de cada vértice, y determinan 6 segmentos que satisfacen el teorema de Ceva entonces las tres cevianas son concurrentes en un único punto.
3) la altura relativa a la hipotenusa , es media proporcional entre los segmentos que determinan la hipotenusa
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Teorema 5.6
Sí del vértice de un triángulo se trazan dos segmentos que van al lado opuesto( o a su prolongación )y los pies de estos segmentos dividen armónicamente a ese lado opuesto en la relación m/n a la razón de los lados correspondientes entonces dichos segmentos era la bisectriz interna y externa trazadas desde ese vértice
4)cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccion de dicho cateto sobre la hipotenusa
¿Qué es la Ceviana de un triángulo?
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Teorema No.5.2
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TeoremaNo 5.3
Es un segmento que tiene por extremos un vértice cualquiera de un triángulo y punto cualquiera del lado opuesto a dicho vértice.
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El ortocentro de un triángulo determina en cada altura dos segmentos cuyo producto de longitudes es constante para las 3 alturas.
Esto se cumple si el triángulo es acutángulo.
el teorema de pitagoras nos indica que la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
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c²=a²+b²
El icentro de un triangulo equidista de los tres lados del triangulo
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teorema 5.8 (Pitágoras Generalizado)
corolario: dos triangulos rectangulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto
BIBLIOGRÁFIA
Calvache, Rosero, Yacelga. (2009). GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO GEOMETRIA ANALITICA DIBUJO. Quito - Ecuador.
la longitud al cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo, en un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyeccion del otro sobre él.
entonces: b²=c²+a²-2c*b
COLORARIO
El segmento que va de un vertice cualquiera de un triángulo al baricentro es igual a dos tercios de la mediana correspondiente trazada desde ese mismo vertice
El segmento que uno los puntos medios de doslados de untriángulo es paralelo al tercer lado y tiene una logitud igual a la mitad de la longitud del mismo
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S.A. Razones trigonometricas. Precalculo21. recuperado de: https://www.precalculo.jcbmat.com/id437.htm
Lic. Marta. (Sin año). Teorema de la altura. Superprfo. recuperado de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/teorema-de-la-altura.html#:~:text=En%20un%20tri%C3%A1ngulo%20rect%C3%A1ngulo%2C%20la,altura%20relativa%20a%20la%20hipotenusa.
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la longitud al cuadrado de un lado opuesto a un angulo obtuso en un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyeccion del otro sobre el
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entonces: c^2=a^2+b^2+2by
teorema 5.9 (teorema de Stewart
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La longitud al cuadrado de una ceviana de un triángulo por la longitud del lado en que cae dicha ceviana, es igual a la suma de los productos de las longitudes de los segmentos, que la ceviana determina, por los cuadrados de las longitudes de los lados no contiguos a estos segmentos que la ceviana determina, por la longitud del lado que contiene dichos segmentos
Corolario: la longitud al cuadrado de una bisectriz interna relativa a uno de los lados del triángulo, es igual al producto de los otros dos lados menos el producto de las longitudes de los segmentos que la bisectriz determina en el lado que cae.
Vallejo P. Albuja G.; Santacruz M.; “Geometría Básica editorial Rodín”; Tomos I y II Quito, 2014
