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Series - Coggle Diagram
\( \textit{Exemples calculatoires fondamentaux} \\ \sum(\frac{1}{2})^k \hspace 2em \sum \frac{1}{k(k-1)} \hspace 2em \sum \ln(1+\frac{1}{k}) \hspace 2em \sum \frac{1}{\sqrt k} \hspace 2em \\ \sum k2^{-k} \hspace 2em \sum \frac{cos(k\theta)}{2^k} \)
method
\( \text{Méthode des rectangles}\)
\( \text{Comparaison série-intégrale} \)
\( \int_{1}^{n+1} f \leqslant \sum_{k=1}^{n} f(k) \leqslant \int_{0}^{n} f \)
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\( \tiny\text{Pour une série alternée, si le CSSA ne donne rien} \\ \text{Éclatement du terme général} \)
\( \text{Ramener l'étude d'une suite à une série} \) #
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ex fond
\( \textit{Série géométrique : } \begin{cases}\text{CV} \iff |q| < 1 \\ \sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{cases}\)
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\( \textit{Séries de Bertrand : } \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^\alpha (\ln k)^\beta} \\ \hspace 1em CV \iff (\alpha, \beta) \succ (1,1) \)
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\( \text{Développement décimal propre : } \\ a_k = \lfloor 10^kx \rfloor - 10 \lfloor 10^{k-1}x \rfloor \\ x = \lfloor x \rfloor + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \)
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\( \text{La semi-convergence, c'est le diable} \)
\( \text{Pour les séries absolument convergentes, la somme est parfaitement commutative} \)
\( \textbf{Théorème de Riemann} \\ \text{Pour les séries semi-convergentes, on rendre la somme égale à *n'importe quel* réel en changeant l'ordre des termes} \)
theorems
\( \textbf{TCSTP (positif!) : } \\ (0 \leqslant u_n \leqslant v_n) \text{ and } (v_n \text{ CV}) \Rightarrow (u_n \text{ CV}) \)
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\( \textbf{CSSA (séries alternées) :} \begin{cases}a_k \in \mathbb R _+ \\ a_k \searrow \\ a_k \rightarrow 0\end{cases} \Rightarrow (\sum (-1)^ka_k \text{ CV}) \)
\( \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 \) #
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