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Groupes finis - Coggle Diagram
core-ish
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\( g \text{ est d'ordre fini } m \iff \langle g \rangle \text{ est un groupe cyclique d'ordre } m \\ \text{Alors} \langle g \rangle = \{e_G,g,g^2,...,g^{m-1} \} \)
\( G \text{ cyclique d'ordre } n \Rightarrow G \text{ isomorphe à } \mathbb Z/n\mathbb Z \\ \text{Avec $g$ générateur de G, } g^k \longmapsto k [\text{mod } n] \text{ est un isomorphisme}\)
\( G \text{ monogène infini } \Rightarrow G \text{ isomorphe à $\mathbb Z$} \\ \text{Avec $g$ générateur de $G$, } g^k \longmapsto k \text{ est un isomorphisme} \)
\( \textbf{Caractérisation des sous-groupes engendrés} \\ \langle A \rangle = \{{\quad a_1^{\varepsilon_1}a_2^{\varepsilon_2}...a_n^{\varepsilon_n} \\ \quad : n \in \mathbb N, \forall i \in [\![1;n]\!], a_i \in A, \varepsilon_i \in \{-1;1\} \quad \} } \)
\( G \text{ monogène} \iff \exists g \in G, \langle g \rangle = G \iff G = \{ g^k : k\in \mathbb Z\} \\ G \text{ monogène et fini }\Leftrightarrow \text{cyclique} \\ \text{ordre } \omega(g) = |g| = \inf\{k\in \mathbb N^* : g^k = e_g \} \text{ ou } \inf\{k\in \mathbb N^* : kg = 0 \} \)
theorems
\( \textbf{Théorème de Lagrange : } \\ \text{L'ordre de } H < G \text{ divise l'ordre de } G \) #
\( \textbf{Résultat fondamental :} \\ \forall g \in G \quad \omega(G) \text{ multiple de } \omega(g) \)