core-ish
theorems
detB(x1,…,xn)=∑σ∈Snε(σ)∏1⩽k⩽naσ(k),kdetB(B)=1K
\( \text{Les déterminants sont des surfaces et des volumes caractérisant la colinéarité, la coplanéarité, la cospacialité...} \)
method
\( \text{Propriétés liées à la n-linéarité :}\\ \det(\dots, \lambda C_i + \mu C_i', \dots) = \lambda\det(\dots, C_i, \dots) + \mu\det(\dots, C_i', \dots) \\ \exists C_i = 0_{n,1} \in A \Rightarrow \det A = 0_K \\ \det(\lambda A) = \lambda^n\det(A) \)
\( \det(u) = \det_{\mathscr B}(u(\mathscr B)) \text{ est un invariant de similitude} \)
\( \text{Propriétés liées au caractère alterné} \\ \begin{array}{rl} (\text{i})& \text{Colonnes liées} \Rightarrow \det(A) = 0_K\\ (\text{ii})& \text{Colonnes redondantes} \Rightarrow \det(A) = 0_K \\ (\text{iii})& \text{Ajout à C d'une combi lin des autres colonnes} \Rightarrow \det(A) \text{ inchangé}\\ (\text{iv})& \text{Échange de deux colonnes} \Rightarrow \det(A) \text{ change de signe} \\ (\text{v})& \det(C_{\sigma(1)}, \dots, C_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\det(C_1, \dots, C_n) \end{array} \)
\( \mathscr{S\! L}(E) = \{u \in \mathscr L(E) : \det u = 1\} \text{ est un sous-groupe de } \mathscr{G\! L}(E) \)
\( \text{Liens entre les déterminants} \\ \begin{array}{rl} \text{(i)}& \text{Avec $A$ la matrice de } (x_1, \dots, x_n) \text{ dans la base } \mathscr B \text{, } \det(A) = \det_{\mathscr B}(x_1,\dots,x_n) \\ \text{(ii)}& \text{Avec $A$ la matrice de l'endomorphisme $u$ dans la base $\mathscr B$, $\det(A) = \det(u)$} \end{array} \)
\( \textbf{Comatrice de $A$ : } \text{Com } A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & \dots & A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{n,1} & \dots & A_{n,n}\end{pmatrix} \)
\( \mathscr{S\! L}(E) = \{A \in \mathscr M_n(K) : \det(A) = 1\} \text{ est un sous-groupe de } \mathscr{G\! L}_n(K) \)
\( f = f(\mathscr B)\det_{\mathscr B} \)
\( \text{Le déterminant est une expression polynomiale en les coefficients de la matrice} \)
\( \textbf{Déterminant de Vandermonde} \\ V(x_0, x_1, \dots, x_n) = \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_0 & x_1 & x_ 2 & \dots & x_n \\ x_0^2 & x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_0^n & x_1^n & x_2^n & \dots & x_n^n \end{array}\right| = \prod_{0 \leqslant i < j \leqslant n} (x_j - x_i) \)
\( \textbf{Le déterminant détecte les bases} \\ \mathscr F \text{ base} \Leftrightarrow \det_{\mathscr B}(\mathscr F) \neq 0_K \\ \text{Alors } \det_{\mathscr B'}(\mathscr B) \times \det_{\mathscr B}(\mathscr B') = 1_K \)
\( \textbf{Déterminant d'un endomorphisme} \\ \begin{array}{rl} (\text{i})& \det_{\mathscr B}(u(\mathscr F)) = \det(u)\det_{\mathscr B}(\mathscr F) \\ (\text{ii})& \det(vu) = \det(v)\det(u) \\ (\text{iii})& (u \in \mathscr {G\!L}) \Leftrightarrow (det(u) \neq 0_K) \text{ et alors $\det(u^{-1}) = (\det(u))^{-1}$} \end{array} \)
\( \textbf{Déterminant d'une matrice} \\ \begin{array}{rl} \text{(i)}& \det(AB) = \det(A)\det(B) \\ \text{(ii)}& (A \in \mathscr {G\!L}_n(K)) \Leftrightarrow (\det(A) \neq 0) \text{ et alors $\det(A^{-1} = (\det(A))^{-1}$} \end{array} \)
\( A(\text{Com } A)^T = (\text{Com } A)^TA = \det(A)I_n \)
\( \det(A^T) = \det(A) \)
\( \textbf{Formule d'inversion!} \text{ Si det $\neq 0_K$} \)
\(\textit{Règle de Sarrus} \\ \left|\begin{array} ? a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array}\right| = \begin{array} ?&+aei&+dhc&+gbf \\ &-gec&-ahf&-dbi \end{array} \)
\( \textit{Matrice triangulaire} \\ \det\begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ & \ddots & \vdots \\ & & a_{n,n}\end{pmatrix} = a_{1,1}\dots a_{n,n} \)
calculs de déterminants
\( \textbf{Formules de Cramer : } \\ \text{Si $A$ inversible, }\quad\quad AX=Y \iff \forall j \in [\![1;n]\!], \quad x_j = \frac{\left|\begin{array}{ccccc} a_{1,1} & \dots & y_1& \dots & a_{1,n} \\ \vdots & & y_2 & & \vdots \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \dots & y_n& \dots & a_{n,n} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccccc}a_{1,1} & \dots & \dots & \dots & a_{1,n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n,1} & \dots & \dots & \dots & a_{n,n} \end{array}\right|} \quad \text{ avec les $y_i$ sur la $j^{\text e}$ colonne} \)
\( \det \left(\begin{array}{c|c} \text B & \text D \\ \hline \mathbb O & \text C \end{array}\right) = \det(B)\times \det(C) \)
\( \text{On utilise en règle générale }\textbf{la méthode du pivot} \)
\( \textit{Formule de changement de base} \\ \det_{\mathscr B'}(\mathscr F) = \det_{\mathscr B'}(\mathscr B) \det_{\mathscr B}(\mathscr F) \)
\( \textit{Développement du déterminant} \\ \text{Par rapport à une ligne $i$ : } \det(A) = \sum_{j = 1}^n a_{i,j}A_{i,j} \\ \text{Par rapport à une col $j$ : } \det(A) = \sum_{i = 1}^n a_{i,j}A_{i,j} \)
\( \textbf{Cofacteur de $a_{i,j}$ : } A_{i,j} = (-1)^{i+j} \Delta_{i,j} \)
\( \Delta_{i,j} \text{ se retrouve dans } \left|\begin{array}{cccc} + & - & + & \dots \\ - & + & - & \dots \\ + & - & + & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right| \)
\( A_{1,1} \text{ : } \begin{pmatrix} \color{blue}a & \color{blue}b & \color{blue}c \\ \color{blue}d & e & f \\ \color{blue}g & h & i\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} e & f \\ h & i\end{pmatrix} \)