Développement multilinéairef(i1I1λi1xi1,1,...,ipIpλipxip,p)=i1I1,...,ipIpλi1,1...λip,pf(xi1,1,...,xip,p)

core-ish

\( \text{On ne modifie pas $f(x_1, \dots, x_p)$ en ajoutant à l'un des $x_i$ une combinaison linéaire des }\underline{autres} \)

theorem

\( \textbf{Forme multilinéaire alternée} \\ \text{liaison $\Leftrightarrow$ redondance $\Leftrightarrow$ antisymétrie} \\ \text{s'annule sur les familles liées (pas seulement)} \)

\( f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(p)}) = \varepsilon(\sigma)f(x_1, \dots, x_p) \)

\( \textbf{Dimension de $\mathscr A_n$ dans un $K$-ev de dimension $n$} \\ \Delta : {(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1,1}e_{k_1}, \dots, \sum_{k_n = 1}^n a_{k_n,n}e_{k_n}) \\ \longmapsto \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1}\dots a_{\sigma(n),n} } \)

Démo la plus difficile de l'année