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Dimension finie - Coggle Diagram
theorems
\( \textbf{Lemme d'échange de Steinitz} \\ \text{En DF, card(libre) $\leqslant$ card(génératrice)} \)
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\( \textbf{Bonux}^\text{TM}\textbf{ sur la liberté et la generescence} \\ \text{card(libre)} \leqslant n \text{ et égalité $\Rightarrow$ base} \\ \text{card(gen)} \geqslant n \text{ et égalité $\Rightarrow$ base} \)
\( \textbf{Théorème de la base intermédiaire} \\ \mathscr L \subset \mathscr B \subset \mathscr G \Rightarrow \text{base extraite, }\textit{base incomplète}\text{, existence.} \)
\( \textbf{Bonux}^\text{TM}\textbf{ sur la supplémentarité en DF} \\ S \text{ existe et } \dim S = \dim E - \dim F \\
\text{Si } \dim S + \dim F = \dim E, \text{ supp } \Leftrightarrow S\cap F = \{0\} \textbf{ ou } S + F = E \)
\( \textbf{Bonux}^\text{TM}\textbf{ sur les sev de DF} \\ \dim F \leqslant \dim G \text{ et égalité $\Rightarrow F = G$} \)
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core-ish
\( \textit{Dimension d'un produit}
\begin{cases} \dim(E \times F) = \dim E + \dim F
\\ \dim(\prod E_k) = \sum(\dim E_k) \end{cases} \)
\( \textit{Dimension d'une somme (formule de Grassmann) } \\ \dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F\cap G) \\ \oplus \Leftrightarrow \dim(F + G) = \dim(F \oplus G) = \dim F + \dim G \)
\( \textit{Pas de généralisation.} \\ \dim(\sum F_k) \leqslant \sum(\dim F_k) \quad \color{pink}{\text{ noter l'inégalité}} \\ \oplus \Leftrightarrow \dim(\sum F_k) = \dim(\bigoplus F_k) = \sum(\dim F_k) \)
\( \textit{Rang, liberté, générescence et base} \\ \text{libre } \Leftrightarrow \text{ rg}(\mathscr F) = \text{card}(\mathscr F) \quad \text{gen } \Leftrightarrow \text{ rg}(\mathscr F) = \dim F \\ \text{base } \Leftrightarrow \text{ rg}(\mathscr F) = \text{card}(\mathscr F) = \dim F \)
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\( \text{DF } \Leftrightarrow \text{il existe }\text{card}(\mathscr G) \text{ finie} \\ \dim E = \text{card}(\mathscr B) \)
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\( \begin{cases} E \text{ de DF} \Rightarrow \mathscr F \text{ de RF et rg}(\mathscr F) \leqslant \dim E \\ \mathscr F \text{ finie} \Rightarrow \mathscr F \text{ de RF et rg} \mathscr F \leqslant \text{card}(\mathscr F) \end{cases} \)
\( E \text{ de DF et $\mathscr F$ finie} \Rightarrow \text{rg}(\mathscr F) \leqslant \min(\dim E, \text{card}(\mathscr F)) \)