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Groupe symétrique - Coggle Diagram
Groupe symétrique
\( \mathfrak{S}_n \text{ est un groupe pour $\circ$, fini d'ordre $n!$ et non abélien si $n \geqslant 3$} \)
core-ish
\( \textbf{Formule de conjugaison des $p$-cycles} \\ \forall \sigma \in \mathfrak S_n, \quad \sigma(a_1, a_2, \dots, a_p)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1), \sigma(a_2), \dots, \sigma(a_p)) \)
\( \textbf{Tous les $p$-cycles sont conjugués deux à deux} \\ \text{Avec } \rho(a_i) = i, \quad c = \rho^{-1}\gamma\rho \quad\quad \gamma = (1, 2, \dots, p) \)
\( \varepsilon(c) = (-1)^{p-1} \quad \text{et en particulier} \quad \varepsilon(\tau) = -1 \\ \scriptsize\text{où $c$ est un $p$-cycle} \)
\( \text{Le calcul d'$\varepsilon$ se fait en décomposant $\sigma$ en produit de cycles ou de transpositions} \)
theorems
\( \textbf{Théorème de décomposition en transpositions} \\ \text{Toute permutation de $\mathfrak S_n$ se décompose en un produit de transpositions} \\ \forall \sigma \in \mathfrak S_n, \exists p \in \mathbb N, \exists (\tau_1, \tau_2, ..., \tau_p), \quad\quad \sigma = \tau_1\tau_2...\tau_p \)
\( \textbf{Théorème de décomposition en cycles à support disjoint (annexe!)} \\ \forall \sigma \in \mathfrak S_n, \exists (c_1, c_2, \dots, c_p) \text{ disjoints }, \quad\quad \sigma = c_1c_2\dots c_p\)
\( \mathfrak S_n \text{ contient $\binom{2}{n}$ transpositions $\tau$} \)
\( \text{L'application signature est un morphisme de $(\mathfrak S_n, \circ)$ dans $(\{-1;+1\}, \times)$} \\ \varepsilon(\sigma\sigma') = \varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma') \)
\( \mathfrak A_n = \text{Ker} (\varepsilon) \text{ est l'ensemble des permutations paires} \\ \text{C'est le }\textbf{sous-groupe alterné}\text{ de $\mathfrak S_n$} \\ \text{Il est d'ordre $n!/2$, donc il y a autant de permutations paires qu'impaires} \)
\( \text{Les i}_\rho \begin{cases} &\mathfrak S_n &\longrightarrow &\mathfrak S_n \\ &\sigma &\longmapsto &\rho\sigma\rho^{-1}\end{cases} \\ \text{sont des automorphismes de groupe.} \\ \text i_\rho \circ \text i_\tau = \text i_{\rho\tau} \)
\( \forall \sigma, \rho \in \mathfrak S_n, \begin{cases} \varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma) \\ \varepsilon(\rho^{-1}\sigma\rho) = \varepsilon(\sigma) \end{cases}\)
\( \textit{$p$-cycles} \begin{cases} \text{supp}((a_1, a_2, \dots, a_p)) = {a_1, a_2, \dots, a_p} \\ \omega((a_1, a_2, \dots, a_p)) = p \\ (a_1, a_2, \dots, a_{p-1}, a_p)^{-1} = (a_p, a_{p-1}, \dots, a_2, a_1) \end{cases} \)